内容发布更新时间 : 2025/2/2 16:48:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
三角函数的图像和性质习题课
例1．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)是偶函数，则φ满足的条件是______． 解析 y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，即关于y轴对称 π∴sin φ＝±1，∴φ＝kπ＋2(k∈Z)．
π例2．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝6对称，则φ的最小值为________．
π
解析 y＝sin 2x向右平移φ个单位得y＝sin(2x－2φ)x＝6是一条对称轴， ππkππ5π则2×6－2φ＝kπ＋2(k∈Z∴φ＝2－12(k∈Z)，∴φ的最小值为12.
π?π?
例3．将函数y＝sin(2x＋θ)?|θ|<2?的图象向左平移4个单位长度，得到函数y＝
??π??
sin?2x＋5?的图象，则θ的值为________． ??
π??π???π???
解析 设f(x)＝sin (2x＋θ)，则f?x＋4?＝sin?2?x＋4?＋θ?＝sin?2x＋2＋θ?.
????????π?ππ3π?π??
由已知，f?x＋4?＝sin?2x＋5?.∴2＋θ＝5，∴θ＝－10. ????
?ππ?例4．设ω>0为常数，函数y＝2sin ωx在?－3，4?上单调递增，则实数ω的取
??3
值范围是__________． 答案 0<ω≤2
π??
例5．关于f(x)＝4sin?2x＋3?(x∈R)，有下列命题
??(1)由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍； π??
(2)y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos?2x－6?；
??
π?π?
(3)y＝f(x)图象关于?－6，0?对称； (4)y＝f(x)图象关于x＝－6，对称．
??其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的都填上) π
解析 对于①，由f(x)＝0，可得2x＋3＝kπ(k∈Z)．
π?kππ?
∴x＝2π－6(k∈Z)，∴x1－x2是2的整数倍，∴①错；对于②，f(x)＝4sin?2x＋3???π??π??π?
2x＋3??＝4cos??2x－6?. ∴②对； 利用公式得：f(x)＝4cos?2－???????
π?πkπ?
对于③，f(x)＝4sin?2x＋3?的对称中心满足2x＋3＝kπ(k∈Z)，∴x＝2π－6(k∈Z)，
???π?
∴?－6，0?是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③对； 对于④， ??
πππkπ
函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．∴④错．
32122例6．(创新拓展)已知f(x)＝－sin2x＋sin x＋a， (1)当f(x)＝0有实数解时，求a的取值范围； 17
(2)当x∈R，有1≤f(x)≤4，求a的取值范围． 1?1?
解 (1)由f(x)＝0，有a＝sin2x－sin x＝?sin x－2?2－4.
??
11?1?
当sin x＝－1时，amax＝2；当sin x＝2时，amin＝－4.∴a∈?－4，2?.
??
171717222
(2)由1≤f(x)≤有1≤－sinx＋sin x＋a≤，即a≤sinx－sin x＋和a≥sinx－
4441?217?22
sin x＋1对k∈R恒成立．由sinx－sin x＋＝?sin x－?＋4≥4，得a≤4.由sinx－sin x2?4?1?23?＋1＝?sin x－?＋≤3，得a≥3. 故3≤a≤4. 2?4?
练习：
?1π?1．函数y＝3sin?2x－4?的周期是________，振幅是________，当x＝________
??时，ymax＝________；当x＝________时，ymin＝________.
答案 4π
3
3 4kπ＋2π (k∈Z)
π
3 4kπ－2(k∈Z) －3
?π?2．把函数y＝sin ?x＋4?的图象向 __ __ ____，可以得到函数y＝
??
?π?
sin ?x－6?的图象．
??
5ππ?π??π?
解析 由y＝sin ?x＋4?， 而y＝sin?x－6?＝sin（x－12＋4），
????5π?π??π?
即将y＝sin?x＋4?向右平移12个单位，得y＝sin?x－6?.
????
π
3．将正弦曲线y＝sin x上各点向左平移3个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象解析式为______________．
π?π?解析 由y＝sin x向左平移3得y＝sin?x＋3?，再把横坐标伸长到原来的2倍，
???xπ?得y＝sin?2＋3?.
??
4．函数y＝
3－sin x?1?
的值域为____________． 答案 ?2，2?
??3＋sin x
5．求函数y＝3－4sin x－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．
解 y＝3－4sin x－4cos2x＝4sin2x－4sin x－1 1?2?
sin x－＝4?－2，令t＝sin x，则－1≤t≤1， 2????1?
∴y＝4?t－2?2－2 (－1≤t≤1)
??
1π5π
∴当t＝2，即x＝6＋2kπ或x＝6＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－2； 3π
当t＝－1，即x＝2＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝7.
?π??19?6．函数y＝asin?x＋6?＋b的值域为?－2，2?，求a的值，以及原函数的单调递
????增区间．
1
－a＋b＝－??2
(1)当a>0时，?9
a＋b＝??2
解
55?π?∴a＝2，b＝2，∴y＝2sin?x＋6?＋2.
??