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立身以立学为先，立学以读书为本

高中数学竞赛平面几何讲座第四讲 四点共圆问题

“四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P89定理和P93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用.

1 “四点共圆”作为证题目的

例1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，

N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克)

分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM. 欲证M，N，P，Q四点共圆，须证 MK?KN＝PK?KQ，

即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) ＝(PB′-KB′)?(PB′+KB′)

或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2 . ①

不难证明 AP=AM，从而有 AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故 MC′2-PB′2=AB′2-AC′2

=(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2)

立身以立学为先，立学以读书为本

=KC′-KB′. ② 由②即得①，命题得证.

例2．A、B、C三点共线，O点在直线外，

O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC， △OCA的外心.求证：O，O1，O2，

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O3四点共圆.(第27届莫斯科数学奥林匹克)

分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.观察△OBC

及其外接圆，立得∠OO2O1=得∠OO3O1=

∠OO2B=∠OCB.观察△OCA及其外接圆，立

∠OO3A=∠OCA.

O，O1，O2，O3共圆.

由∠OO2O1=∠OO3O1

利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证.

2 以“四点共圆”作为解题手段

这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等

例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝

∠CBK. 求证：∠DMA＝∠CKB. 立身以立学为先，立学以读书为本

（第二届??冲之杯初中竞赛）

分析：易知A，B，M，K四点共圆.连接KM，

有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC ＝180°，

∴∠CMK+∠KDC＝180°. 故C，D，K，M四点共圆 但已证∠AMB＝∠BKA， ∴∠DMA＝∠CKB. (2)证线垂直

例4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，

BC交于K，N(K与N不同).△ABC 外接圆和△BKN外接圆相交于B和 M.求证：∠BMO=90°.

∠CMD＝∠DKC.

(第26届IMO第五题)

分析：这道国际数学竞赛题，曾使许多选手望而却步.其实，只要把握已知条件和

图形特点，借助“四点共圆”，问题是不难解决的. 连接OC，OK，MC，MK，延长BM到G.易得∠GMC=