内容发布更新时间 : 2024/11/2 19:24:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

华东师范大学1997年攻读硕士学位研究生入学试题

一（12分）设f(x)是区间I上的连续函数。证明：若f(x)为一一映射，则f(x)在区间I上严格单调。 二（12分）设

证明：若f(x), D(x)f(x) 在点x=0处都可导，且f(0)=0,则

??f'(0)?0

三（16分）考察函数f(x)=xlnx 的凸性，并由此证明不等式： 四（16分）设级数

?an?1nn收敛，试就?dn为正项级数和一般项级数两种

n?1情况分别证明

?an?1?nn?n也收敛。

五（20分）设方程Fy=f(x)。又设F（1） （2）

(x,y)?0满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数

(x,y)具有连续的二阶偏导数。 f''(x)

求

若F(x0,y0)?0,y0?f(x0)为f(x)的一个极值，试证明：

f(x0)为极大值； f(x0)为极小值。

当Fy(x0,y0)与Fxx(x0,y0)同号时，当Fy(x0,y0)与Fxx(x0,y0)异号时，

（3）

对方程x2?xy?y2?27，在隐函数形式下（不解出y）求y=f(x)

的极值，并用（2）的结论判别极大或极小。

六（12分）改变累次积分 的积分次序，并求其值。 七（12分）计算曲面积分I?222(xcos??ycos??zcos?)ds??s其中s为锥面

z?x2?y2上介于0?z?h的一块，

?co?s,?cos??cos为,s的下侧法向的方向余弦。

华东师范大学1998年攻读硕士学位研究生入学试题

一． 简答题（20分） （1）

3n2?23?用定义验证：lim；

n??2n2?n?12（2）

?cosx,x?0'f(x)??,求f(x)； 2?ln(1?x),x?0（3）

计算?x31?x2dx.

二（12

?分）设f(x)有连续的二阶导函数，且

f(?)?2,?[f(x)?f''(x)]sinxdx?5,求f(0).

0三（20分）

（1）已知?an为发散的一般项级数，试证明?(1?n?1??n?11)an也是发散级数。 nn（2）证明?2sinn?1?1在?0,???上处处收敛，而不一致收敛。 3nx四（12分）设

D:x2?y2?z2?t2,F(t)????f(x2?y2?z2)dxdydz,其

D中f为连续函数，f(1)=1.证明F'(1)?4?. 五（12分）设D为由两抛物线

2y?x2?1与y??x?1所围成的闭域。

x2y2试在D内求一椭圆，2?2?1,使其面积为最大。

ab六（12分）设u(x,满足F(ux,uy)''y)有连续二阶偏导数，F(u,t)有连续一阶偏导数，且

?0,(Fs')2?(Ft')2?0,证明：

七（12分）设f(x)为(??,??)的周期函数，其周期可小于任意小的正数。证明若f(x)在(??,??)上连续，则

f(x)?常数。

华东师范大学1999年攻读硕士学位研究生入学试题

一．设a?0,0?x1?a ，xn?1?xn(2?证明：?xn?收敛，并求其极限。 二.证明：若函数

xn),an?N，

f在区间I上处处连续，且为一一映射，则f在I上为严格

单调.

三.用条件极值的方法证明不等式： 四.设f(x)在

(a,?)上可导，且limf'(x)???，证明f(x)在

x???(a,?)上不一致连续。

五.设f(x)在

?a,b?上二阶可导，且

?baf(x)?0，f''(x)?0，证明：

f(x)?2b?af(t)dt,x??a,b?.

六.设f(x,y)在D??a,b???c,d?上有二阶连续偏导数。 （1）

通过计算验证：

??D''''fxy(x,y)dxdy???fyx(x,y)dxdy

D（2） 利用（1）证明：

''''fxy(x,y)?fyx(x,y),(x,y)?D.

七.设对每个n,fn(x)在

?a,b?上有界，且当

n??时，

fn(x)?（1） （2） 八．设Sf(x)?,?xa,b?证明：

f(x)在?a,b?上有界；

limn??a?x?bsupfn(x)?supf(x),(?suplimfn(x))

a?x?ba?x?bn???R2,P0(x0,y0)为S的内点，P1(x1,y1)为S的外点，证明：

直线段P0P1至少与S的边界?S有一个交点。

华东师范大学2000年攻读硕士学位研究生入学试题

一．（24分）计算题： （1）lim(x?011?);

ln(1?x)xcosx?sin3xdx; （2）?21?cosx（3）设z?z(x,y)是由方程

F(xyz,x2?y2?z2)?0,所确定的可微隐函数，试求gradZ.