内容发布更新时间 : 2024/11/14 16:33:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

解不等式

高考要求

不等式

要求层次 C 重难点 解一元二次不等式 一元二次不等式 例题精讲

板块一：解一元二次不等式

（一） 知识内容

1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式．

一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以a?0为例）：

判别式 ??b2?4ac ??0 y??0 ??0 二次函数 y?ax2?bx?c x1Oyy(a?0)的图象 x2xOx1=x2x 一元二次方程 ax2?bx?c?0 (a?0)的根 Ox 有两相异实根 x1,x2? ?b?b2?4ac 2a(x1?x2) 有两相等实根 bx1?x2?? 2a没有实根 一元二次不等式的解集 ax?bx?c?0 (a?0) ax2?bx?c?0 (a?0) 2?xx?x 1?xx?R，且 x??b?? 2a?或x?x2? 实数集R ?xx1?x?x2? ? ?

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解．

（二）主要方法

1．解一元二次不等式通常先将不等式化为ax2?bx?c?0或ax2?bx?c?0 (a?0)的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解．

（三）典例分析：

1.二次不等式与分式不等式求解

【例1】 不等式

x?1?1的解集是 ． x?2

【变式】 不等式?x2?2x?3≤0的解集为（ ）

A．{x|x≥3或x≤?1} B．{x|?1≤x≤3} C．{x|?3≤x≤1} D．{x|x≤?3或x≥1}

【变式】 不等式

??x?5≥2的解集是（ ） (x?1)21?2?A．??3，?

2.含绝对值的不等式问题

B．??，3? C．?，1??2??2??1??1??1?3? D．??，1??1，3? ?1，?2?【例2】 已知n?N?，则不等式

2n?2?0.01的解集为（ ） n?1A．?n|n≥199，n?N?? C．?n|n≥201，n?N??

【例3】 不等式

B．?n|n≥200，n?N?? D．?n|n≥202，n?N??

x?1?1的解集为（ ） x?1A．?x|0?x?1??x|x?1?

B．?x|0?x?1?

D．?x|x?0?

C．?x|?1?x?0?

【变式】 关于x的不等式x?1?x?2≤a2?a?1的解集为空集，则实数a的取值范围是 _．

【例4】 若不等式x?1≥a?2?1对一切非零实数x均成立，则实数a的最大值是_________． x

【例5】 若不等式3x?b?4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为 ．

3.含参数不等式问题

【例6】 若关于x的不等式2x2?8x?4?a?0在1?x?4内有解，则实数a的取值范围是（ ）

A．a??4 B．a??4 C．a??12 D．a??12 【变式】 ⑴已知a?0，则不等式x2?2ax?3a2?0的解集为 . ⑵若不等式8x?9?7和不等式ax2?bx?2?0的解集相同，则a?b?______．

【例7】 若不等式ax2?x?2?0的解集为R，则a的范围是（ ）

11A．a?0 B．a?? C．a? D．a?0

88

【例8】 若关于x的不等式ax?b?0的解集是(??，1)，则关于x的不等式

?1?A．???，ax?b ?0的解集为（ ）

x?2??? B．(?1，1??2，??? 2) C．(1，2) D．???，?2，

【例9】 0?b?1?a，若关于x的不等式(x?b)2?(ax)2的解集中的整数恰有3个，则（ ）

A．?1?a?0 B．0?a?1 C．1?a?3 D．3?a?6

【例10】 ⑴要使满足关于x的不等式2x2?9x?a?0(解集非空)的每一个x至少满足不等式

x2?4x?3?0和x2?6x?8?0中的一个，则实数a的取值范围是 ；

⑵已知不等式ax2?bx?c?0的解集是?x|??x???，其中????1，则不等式

a?ax2?bx?c??cx2?bx?a??0的解集是 ．

4.解不等式与分类讨论

【例11】 设m?R，解关于x的不等式m2x2?2mx?3?0．

【变式】 解关于x的不等式???m?3?x?1???x?1??0(m?R)．

【点评】 解含参数的不等式,进行讨论时要注意对所含字母的分类要做到不重不漏.

【例12】 求不等式ax2?2(a?1)x?4?0的解集．

【例13】 解关于x的不等式

a(x?1)?1(a?1) x?2

【变式】 解关于x的不等式x2?(a?a2)x?a3?0．