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2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案

一、填空题

1、化简解：由

112?21?123?32?134?43?…?120162017?20172016?1?12017.

1kk?1?(k?1)k?1k(k?1).(k?1?k)22?k?1?kk(k?1)?1k?1k?1可得.

2、若sinx+cosx=,sin3x?cos3x?52. 8(sinx?cosx)2?11??,解:sinxcosx?24sin3x?cos3x?(sinx?cosx)3?3sinxcosx(sinx?cosx)?23252?? 4883、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是3． 解：反向考虑，边长为a的正方体（体积为a）,其最大内接正四面体顶点，由互不共棱的正方体顶点组成，其体积为a3a3,令?1，则a3?3. 3334、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率e?1或22． 2解：建立坐标系，设椭圆的方程为

x2y2?2?1(a?b?0),则顶点A1,2?(?a,0),B1,2?(?b,0),焦点F1,2?(?c,0)，准线方程为2abl1,2a2??,其中c?a2?b2,据对称性，只要考虑两种情况：（1）、c-来源网络，仅供个人学习参考

a2a2A1(?a,0)关于F2(c,0)的对称点在右准线x?上，由?a??2c,得e?c?1；（2）、

cca2a2a2B1(0,b)关于F2(c,0)的对称点在右准线x?上，由横坐标0??2c,得e?c?2.

ca2c5、函数y??4x?34x2?1的最小值是5．

解：首先，y??4x?34x2?1??4x?6x?0.又由(y?4x)2?9(4x2?1),即

20x2?8xy?(9?y2)?0,据判别式??64y2?80(9?y2)?0，即y2?5,因y>0,则y?5,此

值在x?2n15时取得（也可以令.x?1tan?求解）. 2?a4?a6?…?a2nn6、设(1?x?x)?a0?a1x?a2x?…?a2nx22n，则a23n?1?． 2解：令x=0，得a0=1,再令x=1，得a0+a1+a2+…+a2n=3,又令x=-1，

得a0-a1+a2+…+a2n=1，所以a2?a4?a6???a2n3n?1?. 21121237、将全体真分数排成这样的一个数列{an}：,,,,,,…，排序方233444法是：自左至右，先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第2017项a22017?1． 652解：按分母分段，分母为k+1的分数有k个，因63?64?2016,64?65?2080，因2017属于第64段，则a应是分母为65的第一数，即1. 2017658、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个nn数列{a}，若a?2017，则n=120. 解：数字和为10的两位数ab有9个；数字和为10的三位数abc：首位数字a可取1，2，…，9中任意一个值，当a取定后，b可取0，1，…，10-a这11-a个数字的任意一个值，而在a,b确定

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后，c的值就唯一确定，因此三位数的个数是?(11?a)?54；数字和

a?19为10的四位数1abc：a+b+c=9的非负整数解（a,b,c）的个数是C2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个.

二、解答题（共70分） 9、（本题满分211?55，

数字和为10的四位数2abc共有2个即2008和2017，故在1，2，…，

15分）数列{a}，{b}满足：ann1?b1?1，an?1?an?2bn，

bn?1?an?bn(n?1)． 证明：（1）、a证明：a2n?12n?1b2n?1?2，a2n?2；（2）、an?1?2?an?2b2nbn?1bn． 22222?2bn?1?(an?2bn)?2(an?bn)??(an?2bn)…①由此递推得2222n?1an?2bn?(an?1?2bn?1)2?2(an?1?bn?1)2??(an(a12?2b12)?(?1)n…② ?1?2bn?1)???(?1)因此a据①得a2n?122n222?2b2n?0,a2n?1?2b2n?1?0即有a2n?1a?2,2n?2, b2n?1b2nnn,222?2bn?1?an?2bn…③，由条件知，?a?,?b?皆为严格递增的正整数数列， 1an?1?2bn?11an?2bn1bn?11bnan?1?an?0,bn?1?bn?0,所以?…④ ?…⑤

将③④⑤相乘得a（本题满分10、得a3n?1bn?1?2?an?2bn15分）若小于2017的三个互异正整数a，b，c使

2017的倍数；证明：a的倍数．

2?b3，b3?c3，c3?a3均是?b2?c2必是a?b?c证：因2017(a3；又由0?a?b?2017,注意?b3),即2017(a?b（)a2?ab?b2）22017

为质数，则a-b与2017互质，因此2017（a…①同理有?b2?ab）-来源网络，仅供个人学习参考