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长 沙 理 工 大 学 备 课 纸 电动力学第一章习题及其答案
1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普
适常数)中的_ C ___选项成立时,则必有高斯定律不成立. 2. 若 a 为常矢量 , r
(x x')i
( y y')j (z z')k 为从源点指向场点的矢量 ,
E 0 , k 为常矢量,则
2ra,
(r 2 a) =(r 2 a) (r a
)a) ddrr2 ra2r r
i 2 2 r 2 x-x' r i j k 2 (x x ') (y y ') (z z ') x y z r
j y-y' k z-z' r
r
rr
2(xx ') (xx ') 2 (yy ') 2 (zz ') 2 (xx') ,同理， r x 2 (xx')2(yy')2(zz')2
y ') 2 2 y (xx ') 2 (yy ') 2 (zz ') 2 (yr(xx ') (yy ') (zz ') , z
e e e x x x
2
(zrz ')
r
x y z
0，
r
x x' y y' z z'
(x-x') x
(y-y') y
(z-z') z
3
， ,
(ar) a(r) 0
rr(
r 1 ) r
r 1 r
r 2r a y (y - y')]
[
y
r
j
3 r
,
( a r)
r
r
[a x
(x -x' )] x
i
r r 3 [a z
r 0
，
(z -z')] k a z
(
1 r
r
1 r
r
r 3 r
r
2 r ，
A) __0___. [E 0 sin(k r)] k E 0 cos(k r)
, 当 r 0 时 ,
(r / r 3) __0__.
df (r) dr
(E 0e ik r)
0 exp(ik r) , ik E[rf (r)] _0_.
[ r
f ( r )] 3f (r)r
s
3. 矢量场 f的唯一性定理是说：在以 为界面的区域 V 内,若已知矢量场在V 内各点的旋度和散
内唯一确定V 度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则 f在.
J t
0 ,若 J
4. 电荷守恒定律的微分形式为
为稳恒电流情况下的电流密度 ,则 J 满足
J 0 .
5. 场强与电势梯度的关系式为， E
.对电偶极子而言 ,如已知其在远处的电势为
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P r
/(4
3 0
r) ，则该点的场强为E
1 4
0
3Pr 5 (r
rrr .
P 3
a ,则在球外 Q 6. 自由电荷 均匀分布于一个半径为 的球体内
内 (r
a) 任意一点 D 的散度为 0, a)任意一点 D 的散度为 3Q / 4a 3 .
arbr 7. 已知空间电场为 E 2 r 3 (a,b 为常数），则空间电荷分布为______.
r
ar 1 r 1 3 Eb
r r r r 2
ar2rr4b(r)] 0E 0(arr2 b2 1
r) 0[ r 2
r 3
3a 2r r 4b(r)]0[ a2 4b(r)] 0[
r 4 r 2 r
a 8. 电流 I 均匀分布于半径为 的无穷长直导线内，则在导线外 (r
小为 0 , 导线内 (r
a) 任意一点 B 的旋度的大
a)任意一点 B 的旋度的大小为
0
I / a 2 .
与电位移矢量 D 的微分关系为
9. 均匀电介质（介电常数为 ）中 ,自由电荷体密度为 f
D f , 束缚电荷体密度为 P P 与电极化矢量 的微分关系为
P 与
f 间的关系为
P
P
,则
P
0
10. 无穷大的均匀电介质被均匀极化，极化矢量为 P，若在
介质中挖去半径为 R的球形区域，设空心球的球心到球 面某处的矢径为 R，则该处的极化电荷面密度为
1
R
f
.
2
P
(P2n P1n) (Pcos
PR R
0)
P
P R / R .
q 11. 电量为 的点电荷处于介电常数为 的均匀介质中，则点电荷附近的极化电荷 为
(
0
/ 1)q .
12. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为 J f ,磁化电流密度为 J M ,磁导率 ,磁场强度为 H，磁
化强度为M ，则
Jf ,H
JM
13. 在 两 种 电 介 质 的 分 界 面 上 , D, E 所 满 足 的 边 值 关 系 的 形 式 为 n
- 1 -
M
, JM与Jf间的关系为 J
M
/
0
1J
f
.
D
2
D
1f
,
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n
E
2
E
1
0.
14. 介电常数为 的均匀各向同性介质中的电场为 E . 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝 ,则缝中
电场强度大小为 E .
15. 介电常数为 的无限均匀的各项同性介质中的电场为 E，在垂
直于电场方向横挖一窄缝，则缝中电场强度大小为________.
1 n
2
E缝
D 2n D1n 0 E 2E1 0
E 2
E 0E缝
E1 sin 1 0
E缝 E /
0
, .
E E
16. 在半径为 R 的球内充满介电常数为 的均匀介质，球心
处放一点电荷，球面为接地导体球壳，如果挖去顶点在球 心的立体角等于 2的一圆锥体介质，则锥体中的场强与介 质中的场强之比为_1:1_. E2 n
E1
2
1
1
R
极化电荷
2
D2n D1n 0 E1 E1
E1 : E 2 1:1
E 2E 2
自由电荷
17. 在半径为 R 的球内充满介电常数为 的均匀介质，球心处放一点电荷，球面为接地导体球壳，
如果挖去顶点在球心的立体角等于 2 的一圆锥体介质，锥体处导体壳上的自由电荷密度与介质 附近导体壳上的自由电荷密度之比为
0
/
.
2
1
D2n D1n 0 内球面上 D 1 E E1E 2E 2 0 1
D2
0 1
:
2 0
:
18. 在 两 种 磁 介 质 的 分 界 面 上 , H , B 所 满 足 的 边 值 关 系 的 矢 量 形 式 为
n
f ,
H
2
H
1
n
2 BB
1
0 .
2 1
I
19.一截面半径为 b无限长直圆柱导体，均匀地流过电流 I，则储存在单位长度导
体内的磁场能为__________________.
Ir
B 20 2 , b 1 0 2
r
B 2r W
21
0
I b
r 22
B 22rdr 0 b 0 2
2
0 I 2r2
b
42b4
2rdr
0
0I 2r3dr 4b4 0I 2b4 16b4
0I 2
16
20.在同轴电缆中填满磁导率为 1,
的两种磁介质，它们沿轴各占一半空间。设电流为 I (如图),
- 2 -