内容发布更新时间 : 2024/10/20 3:30:29星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

新题原创强化训练

第14关

一、填空题：

1．正方形ABCD的边长为4，O是正方形ABCD的中心，过中心O的直线l与边AB交于点M，与边CDuuuruuuruuuruuuuruuur交于点N，P为平面上一点，满足2OP??OB??1???OC，则PM?PN的最小值为________．

【答案】?7

【解析】以O为坐标原点，以过O且平行于AB的直线为x轴，

以过O且垂直于AB的直线为y轴建立坐标系，则B?2,?2?，C?2,2?，

uuuruuuruuur∴2OP??OB??1???OC???2,?2???1????2,2?=?2,2?4??， uuur∴OP??1,1?2??

即P点坐标为?1,1?2??，

设M?a,?2?，则N??a,2?，?2?a?2，

uuuuruuur∴PM??a?1,2??3?，PN???a?1,2??1?

uuuuruuur∴PM?PN??a?1???a?1???2??3??2??1?=1?a2?4?2?4??3，

当a=?2且???故答案为：?7

2．已知a为实数，函数f?x??a1?x2?1?x?1?x的最大值为g?a??__________．

uuuuruuur?41?时，PM?PN有最小值?7． 2?42??2???1?a【答案】g?a????2a???a?2??a???2221?a?? 221a??2?1?x2?0?【解析】由题意可得：?1?x?0，解得?1?x?1，即f?x?定义域为??1,1?；

?1?x?0?令t?1?x?1?x，则t2?2?21?x2，

2?因为x???1,1?，所以t??2,4?，因此t???2,2?

at2?2a12,2?所以原函数可化为h(t)?， ?t?at2?t?a，t????22121（1）当a?0时，??0，函数h(t)?at?t?a开口向上，

a2所以h(t)?122,2?at?t?a在t??上单调递增，因此g(a)?h(2)?a?2； ??2?（2）当a?0时，h(t)?t在t???2,2?上单调递增，此时g(a)?h(2)?2；

（3）当a?0时，?11?0，函数h(t)?at2?t?a开口向下， a2若0??11222,2??2，即a??时，函数h(t)?at?t?a在t??上单调递减， ??a222；

因此g(a)?h(2)?若2??1?112??1?21?2，即??a??时，h(t)?at?t?a在t??2,??上单调递增，在t???,2?a?a2?a??221?1?g(a)?h???a?上单调递减，因此； ??2a?a?若?1112,2??2，即??a?0时，h(t)?at2?t?a在t??上单调递增， ??a22因此g(a)?h(2)?a?2；

??2???1?a综上所述，g?a?????2a??a?2????2???1?a故答案为：g?a????2a???a?2??a???2221?a??． 221a??2a??22?21?a?? 221a??2a1?2a2?????2n?1ann?13．定义Hn?为数列?an?的“均值”，已知数列?bn?的“均值”Hn?2，记数列

n?bn?kn?的前n项和为Sn，若Sn?S6对任意正整数n恒成立，则实数k的范围为__________．

【答案】

167?k? 73b1?2b2?????2n?1bnn?1n?1【解析】由题意可得：?2n?1，即b1?2b2?????2bn?n?2，

n所以2n?1bn?n?2n?1?(n?1)?2n?(n?1)?2n，

因此bn?2n?2，所以bn?kn?2n?2?kn，显然数列?bn?kn?是等差数列， 又数列?bn?kn?的前n项和为Sn，Sn?S6对任意正整数n恒成立，

?b6?0?14?6k?0167?k?． 所以?，即?，解得73?16?7k?0?b7?0故答案为：

167?k? 734．若实数a,b?0，满足abc?a?b?c，a2?b2?1，则实数c的最小值为________ 【答案】?22

【解析】因为a,b?0，a2?b2?1，所以a2?b2?1?2ab，即ab?1，当且仅当a?b时，取等号；因2211a?b?1 ??2222此ab?1??1??，又a?b?1，所以a?b?2ab?1?2ab，即ab?，

222由abc?a?b?c得c?a?b，所以ab?1c?2?a?b??a?b?2?3?2?a?b??3， ?a?b?令t?a?b，因为a?b?所以t?a?b?0,2??， 又易知函数y?t?(a?b)2?a2?b2?2ab?2?a2?b2??2，当且仅当a?b时取等号．

?3332在t?0,2?上单调递增，因此， y?t??2????tt22?因此

c?23?a?b???a?b??23t?t??222??22．

即实数c的最小值为?22，故答案为：?22