华东师大初中数学初三中考总复习:平面直角坐标系与一次函数、反比例函数--知识讲解(提高) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 17:18:17星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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∴d1+d2=|m|+|2m﹣4|,

当0≤m≤2时,d1+d2=m+4﹣2m=4﹣m=3, 解得:m=1,此时P1(1,﹣2); 当m>2时,d1+d2=m+2m﹣4=3, 解得:m=,此时P2(,); 当m<0时,不存在,

综上,P的坐标为(1,﹣2)或(,); (3)设P(m,2m﹣4), ∴d1=|2m﹣4|,d2=|m|, ∵P在线段AB上, ∴0≤m≤2,

∴d1=4﹣2m,d2=m, ∵d1+ad2=4,

∴4﹣2m+am=4,即(a﹣2)m=0, ∵有无数个点, ∴a=2.

【总结升华】此题属于一次函数综合题,涉及的知识有:一次函数与坐标轴的交点,线段中点坐标公式,绝对值的代数意义,以及坐标与图形性质,熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键. 举一反三:

【变式】已知:如图所示,在直角坐标平面内,O为原点,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,4),

直线CM∥x轴.点B与点A关于原点对称,直线y=x+b(b为常数)经过点B,且与直线CM相交于点D,连接OD.

(1)求b的值和点D的坐标.

(2)设点P在x轴的正半轴上,若△POD是等腰三角形,求点P的坐标. 【答案】

(1)因为点B与点A关于原点对称,点A的坐标为(1,0),所以点B的坐标为(-1,0). 因为直线y=x+b(b为常数)经过点B,所以0=-1+b,解得b=1,所以直线为y=x+1. 因为点C的坐标为(0,4),直线CM∥x轴,所以点D的纵坐标为4. 因为直线y=x+1与直线CM交于点D,当y=4时,4=x+1,解得x=3,

所以点D的坐标为(3,4).

(2)因为O为原点,点D的坐标为(3,4),点C的坐标为(0,4),所以OC=4,CD=3, 所以OD=5.

因为点P在x轴的正半轴上,若△POD是等腰三角形,则分三种情况:

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1OD ①当PD=PO时,有cos?DOP?2,

POCD3 因为cos?DOP?cos?CDO??,

OD51OD253所以2. ?,解得PO?6PO525所以点P的坐标为(,0).

6 ②当PD=OD时,PO=2CD=6, 所以点P的坐标为(6,0).

③当OD=PO时,PO=5,

所以点P的坐标为(5,0).

类型三、反比例函数

4.如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为对角线OB的中点,点E(4,n)在边AB上,反比例函数y=(1)求边AB的长;

(2)求反比例函数的解析式和n的值;

(3)若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F,将矩形折叠,使点O与点F重合,折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G,求线段OG的长.

k(k≠0)在第一象限内的图象经过点D、E,且tan∠BOA=. x

【思路点拨】

(1)由点E的纵坐标得出OA=4,再根据tan∠BOA=

1 即可求出AB的长度; 2(2)根据(1)求出点B的坐标,再根据点D是OB的中点求出点D的坐标,然后利用待定系数法求函

数解析式求出反比例函数解析式,再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值;

(3)利用反比例函数解析式求出点F的坐标,从而得到CF的长度,连接FG,根据折叠的性质可得FG=OG,

然后用OG表示出CG的长度,再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度. 【答案与解析】

解:(1)∵点E(4,n)在边AB上,∴OA=4,

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在Rt△AOB中,∵tan∠BOA=

11,∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2. 22(2)由(1),可得点B的坐标为(4,2),

∵点D为OB的中点,∴点D(2,1).

kk(k≠0)的图象上,∴2=,解得k=2. x12∴反比例函数解析式为y=.

x21又∵点E(4,n)在反比例函数图象上,∴n==.

42∵点D在反比例函数y=

(3)如图,

∵反

∴2=,解得a=1.∴CF=1.

连接FG,设OG=t,则OG=FG=t,CG=2﹣t, 在Rt△CGF中,GF=CF+CG,即t=(2﹣t)+1, 解得t=

2

2

2

2

2

2

设点F(a,2),

比例函数的图象与矩形的边BC交于点F,

2a55,∴OG=t=. 44【总结升华】本题综合考查了反比例函数的知识,包括待定系数法求函数解析式,点在函数图象上,锐角三角函数的定义,以及折叠的性质,求出点D的坐标,然后求出反比例函数解析式是解题的关键. 举一反三:

【课程名称: 反比例函数 408332 例5】

【变式1】(2015?枣庄)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(m,6),B(3,n)两点.

(1)求一次函数的解析式;

(2)根据图象直接写出使kx+b<成立的x的取值范围; (3)求△AOB的面积.

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【答案】

解:(1)∵点A(m,6),B(3,n)两点在反比例函数y=(x>0)的图象上, ∴m=1,n=2, 即A(1,6),B(3,2). 又∵点A(m,6),B(3,n)两点在一次函数y=kx+b的图象上, ∴解得

. ,

则该一次函数的解析式为:y=﹣2x+8;

(2)根据图象可知使kx+b<成立的x的取值范围是0<x<1或x>3;

(3)分别过点A、B作AE⊥x轴,BC⊥x轴,垂足分别是E、C点.直线AB交x轴于D点. 令﹣2x+8=0,得x=4,即D(4,0). ∵A(1,6),B(3,2), ∴AE=6,BC=2,

∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8.

【变式2】已知双曲线y?322和直线y?kx?2相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2),且x1?x2?10. x求k的值.

【答案】

?y?kx?23232由?得.∴. ?kx?2,kx?2x?3?0x?x??,xx??12123?xkky??x?资料来源于网络 仅供免费交流使用

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故x1?x2??x1?x2??2x1x2?224622k?1. ∴.∴或. 5k?3k?2?0??10k??12k2k5122又b?4ac?4?12k??即k??,舍去k2??,故所求k的值为1.

352

类型四、函数综合应用

5.如图,已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线,这条直线和x轴、y轴分别交于点A和

点B,且OA=OB=1.这条曲线是函数y?1的图像在第一象限的一个分支,点P是这条曲线上任意一2x点,它的坐标是(a、b),由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN,垂足是M、N,直线AB分别交PM、PN于点E、F.

(1)分别求出点E、F的坐标(用a的代数式表示点E的坐标,用b的代数式表示点F的坐标,只须写出结果,不要求写出计算过程);

(2)求△OEF的面积(结果用含a、b的代数式表示);

(3)△AOF与△BOE是否一定相似,请予以证明.如果不一定相似或一定不相似,简要说明理由;

(4)当点P在曲线y?1上移动时,△OEF随之变动,指出在△OEF的三个内角中,大小始终保2x持不变的那个角的大小,并证明你的结论.

y

B

FP(a,b)N

E xOMA

问题图

【思路点拨】

在证明三角形相似时,∠EBO=∠OAF是较明显的,关键是证明两夹边对应成比例,这里用到了

点P(a,b)在双曲线y?1上这一重要条件,挖掘形的特征,并把形的因素转化为相应的2x代数式形式是解本题的关键.

【答案与解析】

(1)点E(a,1?a),点F(1?b,b)

(2)S?EOF?S矩形MONP?S?EMO?S?FNO?S?EPF =ab?111a(1?a)?b(1?b)?(a?b?1)2 222资料来源于网络 仅供免费交流使用