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小学数学奥数基础教程(三年级) --第20讲

本教程共30讲

第20讲 乘、除法的运算律和性质

我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。 1.乘法的运算律

乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。即

a×b=b×a。

其中，a，b为任意数。 例如，35×120=120×35=4200。

乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。即

a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)。

注意：

(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。 (2)这两个运算律常一起并用。例如，并用的结果有

a×b×c=b×(a×c)等。

例1计算下列各题：

(1)17×4×25； (2)125×19×8； (3)125×72； (4)25×125×16。

分析：由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算。

解：

(2)125×19×8 =(125×8)×19 =1000×19 =19000； (3)125×72 =125×(8×9) =(125×8)×9 =1000×9 =9000； (4)25×125×16或 =25×125×2×8 =(25×2)×(125×8) =50×1000 =50000， 25×125×16 =25×125×4×4 =(25×4)×(125×4) =100×500 =50000。

乘法分配律：两个数之和(或差)与一数相乘，可用此数先分别乘和(或差)中的各数，然后再把这两个积相加(或减)。即

(a+b)×c=a×c+b×c， (a-b)×c=a×c-b×c。

例2计算下列各题：

(1)125×(40+8)； (2)(100-4)×25； (3)2004×25； (4)125×792。 解：

(1)125×(40+8) =125×40+125×8 =5000+1000 =6000； (2)(100-4)×25 =100×25-4×25 =2500-100 =2400； (3)2004×25 =(2000+4)×25 =2000×25+4×25 =50000+100 =50100； (4)125×792 =125×(800-8) =125×800-125×8 =(125×8)×100-1000 =1000×100-1000 =1000×(100-1) =99000。

2.除法的运算律和性质

商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变。即

a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0) =(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)

例3计算：

(1)425÷25；(2)3640÷70。 解： (1)425÷25

=(425×4)÷(25×4) =1700÷100 =17； (2)3640÷70

=(3640÷10)÷(70÷10) =364÷7 =52。

(2)两数之和(或差)除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和(或差)。即

(a±b)÷c=a÷c±b÷c。

例如，(8+4)÷2=8÷2+4÷2， (9-6)÷3=9÷3-6÷3。

此性质可以推广到多个数之和(或差)的情形。例如 (1000-688-136)÷8 =1000÷8-688÷8-136÷8 =125-86-17=22。

(3)在连除中，可以交换除数的位置，商不变。即

a÷b÷c=a÷c÷b。

在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。例如，

168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=??

例4计算下列各题： (1)(182+325)÷13； (2)(2046-1059-735)÷3； (3)775÷25； (4)2275÷13÷5。 解：(1)(182＋325)÷13 =182÷13+325÷13 =14+25 =39；

(2)(2046-1059-735)÷3 =2046÷3-1059÷3-735÷3 =682-353-245 =84； (3)775÷25 =(700+75)÷25 =700÷25+75÷25 =28+3=31； (4)2275÷13÷5 =2275÷5÷13 =455÷13