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2019人教版精品教学资料·高中选修数学

1．2．2 组 合

第一课时 组合与组合数公式

预习课本P21～24，思考并完成以下问题 1．组合的概念是什么？

2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？

3．组合数有怎样的性质？

[新知初探]

1．组合的概念

从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2．组合数的概念、公式、性质 组合数 定义 表示法 组合数 公式 性质 备注 [点睛] 排列与组合的联系与区别

联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．

区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同

乘积式 阶乘式 mCn＝Cnn－m从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 mCn n?n－1??n－2?…?n－m＋1?AmnmCn＝m＝ Amm！n！mCn＝ m！?n－m?！mmm1_，Cn_ ＋1＝Cn＋Cn－0①n，m∈N*且m≤n，②规定：Cn＝1 的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23．( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．( ) (4)C35＝5×4×3＝60．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．C2n＝10，则n的值为( ) A．10 答案：B

3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有( ) A．504种 C．84种 答案：C

324．计算C28＋C8＋C9＝________．

B．5 C．3 D．4

B．729种 D．27种

答案：120

组合的概念

[典例] 判断下列问题是组合问题还是排列问题：

(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ (3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ [解] (1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．

(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．

(3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．

(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．

区分排列与组合的方法

区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

[活学活用]

判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； (2)从7本不同的书中取出5本给某个同学； (3)10个人相互写一封信，共写了几封信； (4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话．

解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题． (2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．

(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题． (4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题．

有关组合数的计算与证明

43

[典例] (1)计算C10－C3A3； 7·m1(2)证明：mCmn＝nCn－1．

－

3[解] (1)原式＝C410－A7＝

10×9×8×7

－7×6×5

4×3×2×1

＝210－210＝0．

n！

(2)证明：mCm＝m· n

m！?n－m?！＝

n·?n－1?！

?m－1?！?n－m?！

?n－1?！－1

＝n·＝nCmn－1． ?m－1?！?n－m?！

关于组合数公式的选取技巧

(1)涉及具体数字的可以直接用进行计算．

?n－1?！n！nn

Cm＝·＝＝Cm－n1n

n－mn－mm！?n－1－m?！m！?n－m?！