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6-1-7.盈亏问题（三）

教学目标

1. 熟练掌握盈亏问题的本质.

2. 运用盈亏问题的解题方法解决一些生活实际问题．

知识精讲

盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况．分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余(也就是盈)，如果每人多分，则物品就不足(也就是亏)，凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题”． 可以得出盈亏问题的基本关系式：

(盈?亏)?两次分得之差?人数或单位数 (盈?盈)?两次分得之差?人数或单位数 (亏?亏)?两次分得之差?人数或单位数

物品数可由其中一种分法和人数求出.也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题”. 注意：1.条件转换； 2.关系互换.

模块一、利用条件关系转换解盈亏问题——转化被分配物质

【例 1】 王老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍.桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，

少5个.问有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？

【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个.又已知苹果每人

分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）. 苹果个数为13×7-5=86（个）. 桔子数为 13×3+4=43（个）.

答：有13个小朋友，86个苹果和43个桔子.

【答案】13个小朋友，苹果86个，桔子43个

【巩固】 学而思学校买来一批体育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分给同学们，每组分乒乓球拍5副，

余乒乓球拍15副，每组分羽毛球拍14副，则差30副，问：学而思学校买来羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？

【考点】盈亏问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最后应余下15×2=30（副），

因为14-5×2=4（副），分到最后还差30副，所以比每次分10副总共差30+30=60（副），所以有小组：60÷4=15（组），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）.

【答案】羽毛球拍180副，乒乓球拍90副

【例 2】 有若干个苹果和若干个梨.如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每

3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨.苹果和梨各有多少个?

【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 容易看出这是一道盈亏应用题，但是盈亏总额与两次分配数之差很难找到.原因在于第一种方案是1

个苹果“搭配”2个梨，第二种方案是3个苹果“搭配”5个梨.如果将这两种方案统一为1个苹果“搭配”

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若干个梨，那么问题就好解决了.将原题条件变为“1个苹果搭配2个梨，缺4个梨；1个苹果搭配5/3个梨，多1个梨”，此时盈亏总额为4?1?5(个)梨，两次分配数之差为2?5/3?1/3(个)梨.所以有苹果(4?1)?(2?5/3)?15(个)，有梨15?2?4?26(个).

【答案】苹果15个，梨26个

【巩固】 有若干梨和苹果，如果1个梨和3个苹果分成一堆，则多2个梨，如果2个梨和5个苹果分成一堆，

则少2个苹果，则梨有 个，苹果有 个。

【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第11题 【解析】 ?6?2???3?2.5??8个梨，?8?2??3?18个苹果 【答案】梨有8个，苹果有18个

【巩固】 有红球和绿球若干个，如果按每组1个红球2个绿球分组，绿球恰好够用，但剩5个红球；如果按

每组3个红球5个绿球分组，红球恰好够用，但剩5个绿球，则红球和绿球共有_____________个。

【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第14题 【解析】 设红球有a个，绿球有b个。在第一种分法中，(a-5)÷1=b÷2；在第二种分法中,（b-5）÷5=a÷3。解

得：b=80,a=45.所以红球和绿球共有80+45=125个。

【答案】125个

【巩固】 有若干个苹果和梨，如果按1个苹果配3个梨分一堆，那么苹果分完时，还剩2个梨；如果按半个

苹果配2个梨分一堆，那么梨分完时，还剩半个苹果.问梨有多少个？

【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 1个苹果配3个梨，多2个梨；半个苹果配2个梨，即1个苹果配4个梨，剩半个苹果，即少2个

梨.苹果有：（2+2）÷（4-3）=4（个），梨有：3×4+2=14（个）.

【答案】14个

【巩固】 四(2)班在这次的班级评比中，获得了“全优班”的称号．为了奖励同学们，班主任刘老师买了一些铅

笔和橡皮．刘老师把这些铅笔和橡皮分成一小堆一小堆，以便分给几位优秀学生．如果每堆有1块橡皮2支铅笔，铅笔分完时橡皮还剩5块；如果每堆有3块橡皮和5支铅笔，橡皮分完时还剩5支铅笔．那么，刘老师一共买了多少块橡皮?多少支铅笔?

【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如果增加10支铅笔，则按1块橡皮、2支铅笔正好分完；而按3块橡皮、5支铅笔分，则剩下10+5=15(支)

铅笔，但如果按3块橡皮、6支铅笔分，则正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮数为：15×3=45(块)，铅笔数为：15×6—10=80(支)．

【答案】橡皮45支，铅笔80支

【巩固】 小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔还多4只，小

灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔放到一个笼子中，小白兔恰好放完，小灰兔还多12只．那么小白兔和小灰兔共有多少只？

【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 “7只小白兔和3只小灰兔装一个笼子，小白兔恰好装完，小灰兔还多12只”说明小白兔少了12÷3×7

＝28（只），这样原来笼子数有：（28＋4）÷（7－5）＝16（个），所以小白兔有16×5＋4＝84（只），小灰兔有16×3＝48（只），合起来有84＋48＝132（只）．

【答案】132只

【例 3】 幼儿园老师买了同样多的巧克力、奶糖和水果糖．她发给每个小朋友2块巧克力，7块奶糖和8块

水果糖．发完后清点一下，水果糖还剩15块，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那么共有_____________个小朋友．

【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，复试题 【解析】 方法一：画线段图分析，由题意知：

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从奶糖的7份中取2份，那么剩下的5份就和上面的2小段相等．如图：

那么2小段和5份都看成10份量，那么总量就相当于19份量，水果糖中原有的8份就是现在的16

16?5?80份，则剩下的15块水果糖就占有3份，则1份就是5块，给小朋友们分出去的水果糖数量是：

（块），小朋友的人数是：80?8?10（人）．

方法二：由上图知，设发完后奶糖剩下1份，则巧克力剩下3份，而巧克力与奶糖每人分得相差5块，对应剩下的糖相差2份，水果糖与奶糖每人分得相差1块，则对应剩下的糖应相差2?5?0.4份，所以水果糖最后应剩下1?0.4?0.6份，恰是15块，所以1份对应的是15?0.6?25，所以应用盈亏问题共有(25?15)?(8?7)?10（人）．

【答案】10人

模块二、盈亏问题的综合运用

【例 4】 “六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1元钱2

个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的售价都是2元钱5个，结果小明少花了4元钱，那么小明共买了多少个球？

【考点】盈亏问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．即花球原价10元钱20个，白球原价10元钱30个．那

么，同样买花球和白球各30个，花球要比白球多花10?2?5（元），共需要30?2?30?3?25（元）．现在两种球的售价都是2元钱5个，花球和白球各买30个需要(30?5)?2?2?24（元），说明花球和白球各买30个能省下25?24?1（元）．现在共省了4元，说明花球和白球各有30?4?120（个），共买了120?2?240（个）．

【答案】240个

【例 5】 一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干块．小唐喝前两盒咖啡时每袋咖啡都放3块方糖，结果共

用了1包方糖和第2包中的24块；小唐喝后三盒咖啡时每袋咖啡都只放1块方糖，最后第3包方糖还剩下36块，那么每盒咖啡有多少袋？

【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 小唐喝前2盒咖啡，每袋放3块糖，相当于喝6盒咖啡每袋放1块糖；

小唐喝后3盒咖啡，每袋放1块糖，所以喝后3盒用掉的方糖总量是前2盒用掉方糖量的一半． 小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24块， 喝后3盒咖啡用掉方糖一包差12块，

因此一包又24块方糖与两包差24块方糖一样多，一包方糖有(24?24)?(2?1)?48（块）． 于是喝前两盒咖啡用掉方糖48?24?72（块），每盒咖啡的袋数为：72?3?2?12（袋）．

【答案】12袋

【例 6】 巧克力每盒9块，软糖每盒11块，要把这两种糖分发给一些小朋友，每种糖每人一块，由于又来了

一位小朋友，软糖就要增加一盒，两种糖分发的盒数就一样多，现在又来了一位小朋友，巧克力还要增加一盒，则最后共有多少个小朋友？

【考点】盈亏问题 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 新来了一位小朋友，就要增加一盒软糖，说明在此之前，软糖应该是刚好分完几整盒，所以原来的

小朋友人数是11的倍数．增加了第二位小朋友之后，巧克力糖也要再来一盒了，说明原有的小朋友分几整盒巧克力糖之后还剩下一块，也就是说，原有的小朋友人数是9的倍数减1．符合这两个条件的最小的数是44，而且它刚好满足原有的巧克力比软糖多一盒的条件，所以原有44个小朋友，最后有46个小朋友．

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