内容发布更新时间 : 2024/11/17 4:44:40星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

对数列求和问题的探讨

作者：梁爱侠

来源：《中学教学参考·理科版》2009年第12期

在高中数学教学中对于这道题是用数学归

纳法证明的,而用数学归纳法证明问题,必须已知问题的结果,若在结果未知的情况下,能否直接推导出这个结果呢?回答是肯定的,这里用组合数性质等有关知识来讨论这个问题. 定理 证明:因为

-所以得到

上式相加,得

又因为 推论 推论

由以上定理可解决自然数任意次幂的求和问题,由

即可得

现在求 设

的值.

｝为一数列,其通项为

-1)]+n,而1+3×22+4×32+…+n(n--1).

-

所以上式可写为

∵1+2+3+…+n=12n(n+1),所以

-1)+12n(n+1)=16n(n+1)?(2n+1).

接着求

的值.

龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn

由于

-所以

6×124(n+1)n(

n-1)(n-2)+6×16(n+1)n(n- 类似地

也可用此法推出.

-n)]+n=6[16n(n-1)(n-2)]+6[12n(n-

随着次数的增高,推导过程会复杂些,但用这种方法可以解决自然数任何次幂和的问题.由此可得,用这种方法也一定可以计算以n为变量的多项式的求和问题. 【例1】 求通项为 解:因为 所以

-3n+8).

【例2】 求通项为 解 所以

-1)+12(n+1)-24]

--1).

--4的前n项和.

-32n-4=12n(n-1)+2n--4n=16(n+1)n(n--4,

--3n+4的前n项和.

-3n+4=2[12n(n-1)]-2n+4=

- -1)-

从而可以归纳如下:

在这类推导和计算过程中,只要熟记公式

并巧妙地运用

添项,凑出关于

的多项式,分项求和并化简就可以求出

的值,

这样就可以弥补归纳法的许多不足,使学生在推导过程中能够更加直观地解决数列求和问题,从而更加熟悉公式结构和原理,快速解决更多的数列求和问题. (责任编辑:金 铃)