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2012届全国各省市高三上学期数学联测试题重组专题

题型二 概率和统计（理）（教师版）

【备 考 要 点】

概率和统计以其独特的研究对象和研究方法，在中学数学中是相对独立的，但是，概率

和统计试题的背景和日常生活最贴近，联系最为紧密，不管是从内容上，还是从思想方法上，都体现着使用的观念和意识，在展现分类讨论、化归思想和同时，培养学生解决问题的能力.在高考的考查中，基本上都是1道小题以及1道解答题，其中小题较容易，解答题逐渐取代了90年代兴起的使用题，其难度不大，但有一定的灵活性，对题目的背景和题意理解要求较高，考查概率的计算和离散随机变量的分布列及期望等等.理科重点考查随机变量的分布列和期望，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，独立重复事件的概率等，穿插考查合情推理能力和有关优化决策能力，难度可能有所提升，考生应有心理准备.

【2011高 考 题 型】

高考对概率和统计内容的考查,往往以实际使用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率使用题侧重于分布列和期望. 使用题近几年的高考有以概率使用题替代传统使用题的趋势,2011年高考概率统计使用题多数省份出现在解答题前三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题。高中学习的《概率统计》是大学统计学的基础，起着承上启下的作用，是每年高考命题的热点.试题特点（1）概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的6％-10％，试题的难度为中等或中等偏易。（2）概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题。这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。（3）概率统计试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n次独立重复试验中恰发生k次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望、方差、抽样方法等内容都进行了考查。

【2012 命 题 方 向】

【原题】（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后放回盒中，记此时盒中．．．使用过的零件个数为X，求X的分布列和数学期望.

【分析】（Ⅰ）：记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件A，则P(A)?2分

所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率P?C3()()?（Ⅱ）：随机变量X的所有取值为2,3,4.…………7分

12C1C5C2110105C22 P(X?2)?2?； P(X?3)?；.…10分 ?P(X?4)??22C721C721C72112. 725772150. ……5分 343所以，随机变量X的分布列为:

X 2 3 4 11010 P 212121…………11分

EX?2?1101024………………13分 ?3??4??2121217【试题出处】北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）

【原题】(本题12分) 某企业招聘中，依次进行A科、B科测试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过。甲参加招聘，已知他每次考A科合格的概率均为

21，每次考B科合格的概率均为。假设他不放弃每次测试机会，且每次测试互32不影响。(I)求甲恰好3次测试通过的概率；(II)记甲参加测试的次数为?，求?的分布列和期望.

【分析】设甲“第一次考A科成绩合格”为事件A1，“ A科补考后成绩合格”为事件A2， “第一次考B科成绩合格”为事件B1，“B科补考后成绩合格”为事件B2。………… 1分

（Ⅰ）甲参加3次测试通过的概率为： P?P(A1B1B2)?P(A1A2B1)???????（Ⅱ）由题意知，?可能取得的值为：2，3，4

P(??2)?P(A1B1)?P(A1A2)?????.…………………………………………7分 P(??3)?P(A1B1B2)?P(A1A2B1)?P(A1B1B2)??????????…………8分

21112121143223323229121112111P(??4)?P(A1A2B1B2)?P(A1A2B1B2)?????????.………………… 9分

33223322921321133492113221213325…6分 18分布列（如右表）………………………………………………………10分 故

【试题出处】2012【原题】（本小题生参加全国数学班别 人数 ? P 2 493 494 19E??2?4418?3??4??………………12分 9993 年北海市高中毕业班第一次质量检测理科数学

满分12分）某校从高二年级4个班中选出18名学联赛，学生来源人数如下表： 高二（2）班 6 高二（3）班 3 高二（4）班 5 高二（1）班 4 （I）从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班的概率；（Ⅱ）若要求从18位同学中选出两位同学介绍学习经验，设其中来自高二（1）班的人数为?，求随机变量?的分布列及数学期望E?．

【分析】（Ⅰ）“从这18名同学中随机选出两名，两人来自于同一个班”记作事件A，

2C4?C62?C32?C522?． ………………………………（5分） 则P(A)?29C18

211C14C4C9156（Ⅱ）?的所有可能取值为0，1，2． ∵P(??0)?2?，P(??1)?214?，

153C18153C182C46，∴?的分布列为： P(??2)?2?C18153? P ∴E(?)?0?0 91 1531 56 1532 6 153915664?1??2??． ………………………………（13分） 1531531539【试题出处】湖北省武昌区2012届高三年级元月调研测试（数学理）

【原题】（本小题满分13分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛. 该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（Ⅰ）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（Ⅱ）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望.

【分析】（Ⅰ）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A，则P?A??4分

所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为

2?3!1?. …5!101.…5分 10（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0, 1, 2, 3. ……6分

P?X?0??2?4!23?2?3!3?，P?X?1???，5!55!10

2?3!12?2!?3?2!1?.…………10分 P?X?2???，P?X?3??5!105!5随机变量X的分布列为：

0 3 2 1 2311 510510 2311因为 EX?0??1??2??3??1，所以 随机变量X的数学期望为1.…13分

510510X P 【试题出处】海淀区高三年级第一学期期末试题数学（理科）

【原题】（本小题满分12分）我市某大学组建了A、B、C、D、E五个不同的社团组织，为培养学生的兴趣爱好，要求每个学生必须参加且只能参加一个社团，假定某寝室的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的。（1）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人参加同一社团的概率； （2）设随机变量?为甲、乙、丙这三个学生参加A或B社团的人数，求?的分布列和数学期望。