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2020年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(大纲全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2020大纲全国，理1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( )．

A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B

解析：由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素． 2．(2020大纲全国，理2)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D

解析：∵(2－i)2＝3－4i，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D.

3．(2020大纲全国，理3)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量AB在CD方向上的投影为( )．

3231532315??2 D．2 A．2 B．2 C．

答案：A

AB?CDCD?1532?250解析：由题意可知AB＝(2,1)，CD＝(5,5)，故AB在CD方向上的投影为

.

?y?2x,??x?y?1,?y??1.4．(2020大纲全国，理4)若变量x，y满足约束条件?则x＋2y的最大值是( )．

555A．2 B．0 C．3 D．2

?答案：C

解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分．

1dy??x?22， 令x＋2y＝d，即

1

?12?145???,?33?，所以dmax＝333. 由线性规划知识可得最优点为?5．(2020大纲全国，理5)函数y＝xln(1－x)的定义域为( )． A．(0,1) B． [0,1) C．(0,1] D．[0,1]

答案：B

?x?0,?解析：要使函数有意义，需?1?x?0,解得0≤x＜1，即所求定义域为[0,1]．故选B. 6．(2020大纲全国，理6)下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题： p1：数列{an}是递增数列； p2：数列{nan}是递增数列；

?an???p3：数列?n?是递增数列；

p4：数列{an＋3nd}是递增数列． 其中的真命题为( )． A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 答案：D

an解析：如数列为{－2，－1,0,1，…}，则1×a1＝2×a2，故p2是假命题；如数列为{1,2,3，…}，则n＝

1，故p3是假命题．故选D.

7．(2020大纲全国，理7)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )． A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 答案：D

解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.

21?x28．(2020大纲全国，理8)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，

rrC5x(0≤r≤5，r∈Z)，则含x2的项为

22C5xC1x＋ax·5＝(10＋

当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )．

333??A．3 B．3 C．3 D．?3 答案：B

21?x解析：曲线y＝的图象如图所示：

2

若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k＜0，设l：y＝k(x?2)，则点O到l的距离

d??2kk2?1.

11?d2?d211222?21?d?d?(1?d)?d??22，当且仅当1－d2＝d2，即d2又S△AOB＝2|AB|·d＝232k21112k???k?23.故选B. 3，∴＝2时，S△AOB取得最大值．所以k?12，∴

??x2?2x，x?0，?9．(2020大纲全国，理9)已知函数f(x)＝?ln(x?1)，x?0.若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )． A．(－∞，0) B．(－∞，1) C．[－2,1] D．[－2,0] 答案：D

解析：由y＝|f(x)|的图象知：

①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C. ②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x. 故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.

当x＝0时，不等式为0≥0成立． 当x＜0时，不等式等价于x－2≤a. ∵x－2＜－2，∴a≥－2. 综上可知：a∈[－2,0]．

10．(2020大纲全国，理10)直线l过抛物线C：x2＝4y的且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )．

16248A．3 B．2 C．3 D．3

焦点

答案：C

解析：由题意可知，l的方程为y＝1. 如图，B点坐标为(2,1)，

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