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二次函数的综合问题

121bx?(b?1)x?（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分444别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．

（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

例1。如图1，已知抛物线y?图1

例2。2014年苏州市中考第29题

如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－3m2)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．

（1）用含m的式子表示a；

AD为定值； AE（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

（2）求证：

图1

练习1、如图1，抛物线y?123，x?x?4与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧）

42与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴

上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

33练习2、如图1，抛物线y??x2?x?3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），

84与y轴交于点C．

（1）求点A、B的坐标；

（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；

（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

图1

练习3．（2015苏州）如图，已知二次函数y?x2??1?m?x?m（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC． （1）∠ABC的度数为 ▲ °；

（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

ly

P xAOB

C

（第27题）

练习4．（2016苏州）如图，直线l:y??3x?3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y?ax?2ax?a?4(a?0)经过点B． (1)求该地物线的函数表达式；

(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM．设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S．求S与m的函数表达式，并求出S的最大值； (3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M?. ①写出点M?的坐标；

②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l?，当直线l?与直线AM?重合时停止旋转．在旋转过程中，直线l?与线段BM?交于点C．设点B、M?到直线l?的距离分别为 d1、d2，当d1?d2最大时，求直线l?旋转的角度（即∠BAC的度数）．

2

练习5．（2017苏州）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点． （1）求b、c的值；

（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

参考答案： 例1。 思路点拨

1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上． 满分解答

b（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )．

4（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．

因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)．如图3，联结OP．

1b15所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝??x??b?x?bx＝2b．

2428161616解得x?．所以点P的坐标为(,)．

555图2 图3 11b1（3）由y?x2?(b?1)x??(x?1)(x?b)，得A(1, 0)，OA＝1．

4444①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA． BAQA当，即QA2?BA?OA时，△BQA∽△QOA． ?QAOAb所以()2?b?1．解得b?8?43．所以符合题意的点Q为(1,2?3)．

4②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。

BAQA因此△OCQ∽△QOA．当时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． ?QAOABOQA所以C、Q、B三点共线．因此，即b?QA．解得QA?4．此时Q(1,4)． ?bCOOA14

图4 图5