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二次函数之平行四边形存在性问题攻略

祝林华

（四川省广安市邻水县邻水实验学校，638500）

二次函数综合题是全国各省市每年必考的中考题型，与二次函数有关的存在性问题更是必考题型。笔者就以平行四边形的存在性为例，谈谈研究这类题型的基本思路和解题技巧。

在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题：（1）已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形（下文出现时简称“三定一动”）；（2）已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形（下文出现时简称“两定两动”）；平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序；由于定序较为简单，所以笔者就不再举例说明。学生在拿到这类题型时常常无从下笔，比较典型的两种错误：一是确定动点位置时出现遗漏，而是在具体计算动点坐标时出现方法不当或错解。实际上，这类题型的解法是有章可循的，就是要掌握好解决这类题型的基本思路和解题技巧。 一、基本思路：

（1）分清题型（属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所

不同）；

（2）分类讨论且作图（利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置）； （3）利用几何特征计算（不同的几何存在性要用不同的解题技巧）。可以把存在

性问题的基本思路叫做“三步曲”：一“分”二“作”三“算”。 二、平行四边形题型攻略：

（1）如果为“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3

个点；这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点；

（2）如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，将两个定点连

成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论。 三、平行四边形解题技巧：

（1）若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则直接利用坐标系中平行四

边形的基本特征：即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解；

（2）若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则利用列方程组解图

形交点的方法解决；

（3）灵活运用平行四边形的中心对称的性质，也可使问题变得简单.

例1：如1：已知抛物线y??x2?2x?3与X轴交于A、B两点（点A在点B的左

侧），与y轴交于点C，顶点为P.若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.

图1 图2 解题思路：“三步曲”

①“分清题型”：根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题中“三定一动” 题型；

②“分类讨论且作图”：分析定点、动点，挖掘不变特征；A、C、P为定点，M 为坐标平面内一动点动点，确定位置的方法是：将以三个定点为顶点画?APC， 过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生的交点位置就是M点； ③“利用几何特征计算”：分析几何特征，建等式求解点M坐标。 解：（1）确定位置：如图2

①以A、C、P三个定点为顶点画?APC；

②过点A作PC的平行线，过点P作AC的平行线，过点C作AP的平行线；三条直线相交于M1,M2,M3； （2）代数法求解点M的坐标：

如图2：设点M1(m,n)，利用平行四边形对边水平距离相等和竖直距离相等可得：

??n?0?4?3 解得：???3?m?0?(?1)?n?1 即：?m??4M1(?4,1) 同理可得：M2(?2,?1)，M3(2,7)

综合知，点M的坐标为：(?4,1),(?2,?1),(2,7)

例2：如图3，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，

C(2，0)三点．P为抛物线上一动点，Q为直线y=-x上一动点，若以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，则点Q的横坐标.

图3 图4 图5

解题思路：“三步曲”

①“分清题型”：根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题中“两定两动”

题型；

②“分类讨论且作图”：分析定点、动点，挖掘不变特征；O、B为定点，P、Q

为坐标平面内两动点，确定位置的方法是：将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种分类讨论； ③“利用几何特征计算”：分析几何特征，建等式求解点Q坐标。 解：（1）确定位置

①以线段OB为平行四边形的边：将线段OB沿任意方向平移使得线段两端点分 落在抛物线和直线y=-x上；如图4：

②以线段OB为平行四边形对角线：将直线PQ绕线段OB中点旋转3600寻找满足 题意的动点；如图5： （2）代数法求解点 Q的坐标

设抛物线的解析式为y?a(x?4)(x?2)，

1

把点B的坐标代入上式，得a?1， 211∴y?(x?4)(x?2)?x2?x?4．

22①如图4，当OB为边时，OB∥PQ且OB=PQ=4．

1设点Q的横坐标为m，则Q(m,?m)，P(m,m2?m?4)．

211 QP?m2?2m?4或QP??m2?2m?4，

221由m2?2m?4?4得，m??2?25（均符合题意）． 21由?m2?2m?4?4得，m=-4或m=0（舍去）．

2②如图5，当OB为对角线时，记OB的中点为D． 则D（0，-2），且点D为PQ44的中点． 设点P4(x0,y0),Q4(n,?n)，

?y0?n??2??2由中点坐标公式得?，

?x0?n?0??2?x0??n∴?，即点P4的坐标(?n,n?4)． y?n?4?0∵点P4在抛物线上，

1∴n?4?(?n)2?(?n)?4，

2∴n=4或n=0（舍去）．

综合知，点Q的横坐标为?2?25,?2?25,?4或4．

平行四边形的基本思路适用于等腰三角形的存在性、直角三角形的存在性、等腰直角三角形的存在性、菱形的存在性、矩形的存在性、梯形和圆等的存在性存在性问题，具有普遍应用价值。

姓名：祝林华

单位：四川省广安市邻水县邻水实验学校

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