内容发布更新时间 : 2024/5/21 3:19:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1.41一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）

【学习目标】

1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围； 2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.

【要点梳理】

知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式

一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中，b2?4ac叫做一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式，通常用“?”来表示，即??b2?4ac

（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b2?4ac的值；④根据b2?4ac的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程ax2?bx?c?0?a?0?中，

（1）方程有两个不相等的实数根?b2?4ac﹥0； （2）方程有两个相等的实数根?b2?4ac=0；

（3）方程没有实数根?b2?4ac﹤0.

要点诠释：

（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 b2?4ac≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系

1.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2， 那么x1?x2??ba，xc1x2?a. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得

的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

2.一元二次方程的根与系数的关系的应用

(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：

①x221?x2?(x1?x2)2?2x1x2；

②

1x?1x1?x2x?； 12x1x2③x21x2?x21x2?x1x2(x1?x2)；

④x2?x22x1x12(x1?x2)2?2x1x?x?x?x2； 12x12x1x2⑤(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2；

⑥(x1?k)(x2?k)?x1x2?k(x1?x2)?k2； ⑦|x1?x2|?(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2；

11x22⑧1?x2(x1?x22)?2x1x2x2?2?22?2； 1x2x1x2(x1x2)⑨x21?x2??(x1?x2)??(x21?x2)?4x1x2；

⑩|x1|?|x2|?(|x?|x2x221|2|)?1?x2+2|x1x2|?(x1?x2)2?2x1x2?2|x1x2|．

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数

为根的一元二次方程是

.

(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根为x1、x2，则 ①当△≥0且x1x2?0时，两根同号．

当△≥0且x1x2?0，x1?x2?0时，两根同为正数； 当△≥0且x1x2?0，x1?x2?0时，两根同为负数． ②当△＞0且x1x2?0时，两根异号．

当△＞0且x1x2?0，x1?x2?0时，两根异号且正根的绝对值较大；

当△＞0且x1x2?0，x1?x2?0时，两根异号且负根的绝对值较大．

要点诠释：

（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的?．一些考试中，往往利用这

2由此方程有两个不相等的实数根知b?4ac?0，即k??1，

综上可知k??1且k?0．

【点评】不能忽略二次项系数不为0这一条件. 举一反三：

2

【变式】m为任意实数，试说明关于x的方程x-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.

一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根a?b，则必有一根a?b（a，b为有理数）．

【典型例题】

类型一、一元二次方程根的判别式的应用

1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 2x2

+3x-4=0 (2)ax2

+bx=0(a≠0) 【答案与解析】

(1) 2x2+3x-4=0 a=2, b=3, c=-4,

∵Δ=b2

-4ac=32

-4×2×(-4)=41>0 ∴方程有两个不相等的实数根.

(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，

将常数项视为零，

∵Δ=(-b)2

-4·a·0=b2

,

∵无论b取任何关数，b2

均为非负数， ∴Δ≥0， 故方程有两个实数根. 【点评】根据b2?4ac的符号判定方程根的情况. 举一反三：

【变式】不解方程，判别方程根的情况：x2?ax?a2?1?0 .

【答案】无实根.

2．若关于x的一元二次方程kx2?2x?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（A．k??1 B．k??1且k?0 C．k?1 D．k?1且k?0

【思路点拨】

此题要考虑两方面：判别式要大于0，,二次项系数不等于0. 【答案】 B；

【解析】 由关于x的一元二次方程kx2?2x?1?0知k?0，

．

【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m2+10m+37=(m+5)2

+12＞0，

∴关于x的方程x2

-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.

类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用

3．已知方程5x2?kx?6?0的一个根是2，求另一个根及k的值． 【思路点拨】

根据方程解的意义，将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．【答案与解析】

方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，

得x1?2??k635，2x1??5，从而解得：x1??5，k＝-7． 方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7．

设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，

得x71?2?5，从而x?31?5， 故方程的另一根为?35，k的值为-7．

【点评】根据一元二次方程根与系数的关系xbc1?x2??a，x1x2?a易得另一根及k的值． 举一反三：

【变式】已知方程x2?2x?c?0的一个根是3，求它的另一根及c的值．

【答案】另一根为-1；c的值为-3．

4．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是?313，212．

【答案与解析】

解法一：因为x11?x2??3?21532??6， xx????31?3???212??2512?3，

所以所求方程为x2?56x?253?0，即6x2?5x?50?0． 解法二：所求方程为??x?31????x?21???0，即6x2?3??2??5x?50?0．

）【点评】根据一元二次方程的根与系数的关系可知，只需求出x1+x2和xl-x2的值即可． 【巩固练习】

一、选择题

1. 下列方程，有实数根的是( )

A．2x2

+x+1＝0 B．x2

+3x+21＝0 C．x2

-0.1x-1＝0 D．x2?22x?3?0

2．一元二次方程ax2?bc?c?0(a?0)有两个不相等的实数根，则b2?4ac满足的条件是（ ）

A．b2?4ac?0 B．b2?4ac?0 C．b2?4ac?0 D．b2?4ac?0

3．关于x的一元二次方程x2?6x?2k?0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）

A．k?92 B．k?9992 C．k?2 D．k?2

4．关于方程x2?2x?3?0的两根x1,x2的说法正确的是（ ）

A. x1?x2?2 B.x1?x2??3 C. x1?x2??2 D.无实数根 5．关于x的一元二次方程x2

+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（ ） A.k≥4 B.k≤4 C.k＞4 D.k=4

6．一元二次方程2x2?6x?3?0的两根为?、?，则(???)2的值为（ ）． A．3 B．6 C．18 D．24

二、填空题

7．已知关于x的方程x2

-2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是________．

8．已知3x2

-2x-1=0的二根为x，x=______，1112，则x1+x2=______，x1x2x?x???_______，?

12 x22

1+x2=_______，x1-x2=________．

9．若方程的两根是x1、x2，则代数式的值是 。

10．设一元二次方程x2?3x?2?0的两根分别为x221、x2，以x1、x2为根的一元二次方程是________．

11．已知一元二次方程x2

-6x+5-k=0?的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____ __．

12．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为__ _．

三、解答题

13．当k为何值时，关于x的方程x2-(2k-1)x＝-k2

+2k+3， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根?

14. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(a2+b2)x2

-2cx+1＝0有两个相等的实数根．

请你判断△ABC的形状．

15．已知： xx的方程x2＋（2a－1）x＋a2

1、x2是关于＝0的两个实数根且（x1＋2）（x2＋2）＝11，

求a的值.

【答案与解析】 一、选择题

1.【答案】C；

【解析】由根的判别式判定． 2.【答案】B；

【解析】ax2?bx?c?0(a≠0)有两个不相等实数根?b2?4ac?0． 3.【答案】B；

【解析】 (-6)2

-4×1×2k＞0．解得k?92． 4.【答案】D；

【解析】求得Δ=b2

-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D. 5.【答案】B；

【解析】∵关于x的一元二次方程x2

+4x+k=0有实数解，

∴b2﹣4ac=42

﹣4×1×k≥0， 解得：k≤4，故选B．

6.【答案】A；

【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：????3，???32， 因此(???)2?(???)2?4???9?6?3．

二、填空题 7．【答案】k≤1；

【解析】由题意可知△＝(?2)2?4?1k≥0，-4k≥-4，所以k≤1． 8．【答案】

； -； -2；

； ±

；

【解析】x1+x2=，x1x2=-，+==-2，

x12+x22=(x1+x2)2

-2x1x2=+=， ∵(x1-x2)2=(x1+x2)2

-4x1x2=

+

=

，

∴x1-x2=±.

9．【答案】6；