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泛函分析习题答案

第二章 度量空间

作业题答案提示 1、

试问在R上，??x,y???x?y?2能定义度量吗？

答：不能，因为三角不等式不成立。如取则有??x,y??4,而??x,z??1，??z,x??1 2、

试证明：（1）??x,y??x?y;(2)??x,y??12

x?y1?x?y在R上都定

义了度量。

证：（1）仅证明三角不等式。注意到

11??x?y?x?z?z?y??x?z2?z?y2???2

故有x?y?x?z?z?y

121212 （2）仅证明三角不等式 易证函数??x?? 所

a?1?a?b??b?1?x在R?上是单调增加的， 1?x以

a?a?有

?b1?b??a?b????a?b?,

b从而有

a1ab 令?x,y,z?R,令a?z?x,b?y?z 即

2-1

y?x1?y?x?z?x1?z?x?y?z1?y?z

泛函分析习题答案

4.试证明在C?a,b?上，?(x,y)??ax(t)?y(t)dt(2.3.12)

1b定义了度量。

证：（1）?(x,y)?0?x(t)?y(t)?0（因为x,y是连续函数） ?(x,y)?0及?(x,y)??(y,x)显然成立。

(2)?(x,y)??x(t)?y(t)dtab???x(t)?z(t)dt?z(t)?y(t)?dtba

??x(t)?z(t)dt??z(t)?y(t)dtaabb??(x,z)??(z,y)

5.试由Cauchy-Schwarz不等式证明

n?n???xi??n?xii?1?i?1?222

2nnn?n?22证：??xi???xi??1?n?xii?1i?1i?1?i?1?

8.试证明下列各式都在度量空间?R1,?1?和?R1,R2?的Descartes积

R?R1?R2上定义了度量

~~?(?2??2)1/2;(3)?~?max??,?? (1)???1??2;(2)?1212证：仅证三角不等式。（1）略。 (2) 设x?(x1,x2)，y?(y1,y2)?R1?R2，则

2-2

泛函分析习题答案

?(x,y)?[?(x1,y1)??(x2,y2)]?2122121222222?????(x,z)??(z,y)??(x,z)??(z2,y2)?1111112222?????2?????(x1,z1)??(z1,y1)??????(x2,z2)??(z2,y2)???(x,z)???(z,y)??212112222212

111?n?nn222??????2??i??i?????i2?????i2???????i?1??i?1????i?1?????(x,y)?max{?1(x1,y1),?2(x2,y2)} （3）??max{?1(x1,z1)??1(z1,y1),?2(x2,z2)??2(x2,z2)}?max[?1(x1,z1)??1(z1,y1)]?max[?2(x2,z2)??2(x2,z2)]

???(x,z)???(z,y)??

9、试问在C[a,b]上的B(x0;1)是什么？

C[a,b]上图像以x0为中心铅直高为

2的开带中的连续函数的集

合。

10、试考虑C[0,2?]并确定使得y?B(x,r)的最小r，其中

x?sint,y?cost。

?(x,y)?supsint?cost?supt?[0,2?]t?[0,2?]2sin(t?)?2 4?2-3