内容发布更新时间 : 2024/11/18 13:59:35星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第六章 非线性微分方程和稳定性

研究对象

二阶驻定方程组（自治系统）

?dx?X(x,y)??dt ?dy??Y(x,y)??dt1 基本概念 1）稳定性 考虑方程组

dx?f(t,x) （6.1） dt?dx1??x1??dt???dx2?x2?其中 x???，dx??dt ???dt?? ??x??n??dxn???dt???f1(t;x1,x2,?,xn)??????f2(t;x1,x2,?,xn)?，f(x)??? ??。 ?????f(t;x,x,?,x)?12n??n????总假设f(t,x)在I?D上连续，且关于x满足局部李普希兹条件，I?R，区域

D?R,f(t,0)?0，x?n?xi?1n2i。

如果对任意给定的??0，存在?(?)?0（一般?与t0有关），使得当任一x0满足

x0?δ时，方程组（6.1）满足初始条件x(t0)?x0的解x(t)，均有x(t)?ε对一切t?t0成立，则称方程组（6.1）的零解x?0为稳定的。

如果方程组（6.1）的零解x?0稳定，且存在这样的?0?0，使当x0?δ0时，满足初始条件x(t0)?x0的解x(t)均有limx(t)?0，则称零解x?0为渐近稳定的。

t???如果x?0渐近稳定，且存在域D0，当且仅当?x0?D0时满足初始条件x(t0)?x0的解均有limx(t)?0，则称域D0为（渐近）稳定域或吸引域；如果稳定域为全空间，即

t????0???，则称零解x?0为全局渐近稳定的或简称全局稳定的。

当零解x?0不是稳定时，称它为不稳定的。即就是说：如果对某个给定的??0，不论??0怎样小，总有一个x0满足x0?δ，使得由初始条件x(t0)?x0所确定的解x(t)，至少存在某个t1?t0使得x(t1)?ε，则称方程组（6.1）的零解x?0为不稳定的。

注：非零解的稳定性可以通过平移变换后转化为零解稳定性问题来讨论。 2）相平面与轨线

考虑二阶非自治微分方程组

?dx?X(t;x,y)??dt （6.2） ?dy??Y(t;x,y)??dt它的解x?x(t),y?y(t)在以t,x,y为坐标的（欧氏）空间中决定了一条曲线，这条曲线称为积分曲线。

如果把时间t当作参数，仅考虑x,y为坐标的（欧氏）空间，此空间称为方程组（6.2）的相平面，若方程组是含三个以上未知函数的，则称为相空间。

在相平面（相空间）中方程组的解所确定的曲线称为轨线。 3）奇点与常点

如果方程组（6.2）是驻定方程组（或称为自治系统），即其右端函数不显含时间t。此时（6.2）式变成

?dx?X(x,y)??dt （6.3） ??dy?Y(x,y)??dt?X(x,y)?022满足方程组?的点(x*,y*)，即满足X(x*,y*)?Y(x*,y*)?0的点，称为方

Y(x,y)?0?程组（6.3）的奇点（或平衡点），否则称为常点。

4）周期解、闭轨和极限环

平面自治系统（6.3）的周期解在相平面上对应的轨线称之为闭轨线，简称闭轨。 若在闭轨C的充分小的邻域中， 除C之外，再无其它闭轨，称C为孤立闭轨。 如果在孤立闭轨C的充分小的邻域中出发的非闭轨线，当t???（或t???）都分别盘旋地趋于闭轨C，则称它为系统（6.3）的极限环。极限环C将平面分为两个区域：内

域和外域。

当极限环附近的轨线均正向(即t???时)趋近于它时，称此极限环为稳定的。如果轨线均负向(即t???时)趋近于此极限环时，则称它为不稳定的。当此极限环的一侧轨线正向趋近于它，而另一侧轨线负向趋近于它时，此极限环称为半稳定的。

5）李雅普诺夫(Liapunov)函数（V函数） 考虑非线性的自治微分方程组

dx?f(x) f(0)?0 （6.4） dt假设f(x)在某区域D:x?A（A为正常数）内具有连续一阶偏导数。设函数

V(x)?V(x1,x2,?,xn)在域D1:x?H?A上具有连续偏导数，且V(0)?0，

a）若在D1上，恒有V(x)?0，则称函数V(x)为常正的；

b）若在D1\\{0}:0?x?H?A上，V(x)?0，则称函数V(x)为定正的；

c）若在D1上，恒有V(x)?0，则称函数V(x)为常负的；

d）若在D1\\{0}:0?x?H?A上，V(x)?0，则称函数V(x)为定负的；

e）若V(x)在原点O(0,0,?,0)的任一邻域内既可取正值又可取负值，则称V(x)为变

号函数。

常正、常负函数统称为常号函数；定正、定负函数统称为定号函数。以上定义的函数为 李雅普诺夫函数（V函数）。

6）全导数

设函数V(x)在原点O的邻域内连续可微，把函数

n?VdV??fi(x1,x2,?,xn) dti?1?xi称为V(x)关于系统（6.4）的对时间t的全导数，记为

dVdt，特别地，如果系统已明确

(6.4)（或不易混淆），符号

dVdt的下标可略去。

(6.4)2 基本理论与基本方法 1）平面系统的奇点分类