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名姓 密 号弊学 绝作 、拒 考纪 严肃 级年信、 守 封 诚实 争、 平竞班、公业专 线 院学《高等数学（III-Ⅱ）》课程试卷参考答案

2009~2010学年 第2学期

一．填空题（每小题4分，共20分）

1． 设z?xsiny2，则

?z?y?2xycosy2

2． 设z?x2?y2，则dz?xdx?ydy

x2?y23．微分方程y''?4y'?4y?0的通解为y?e2x(C1?C2x)

?4．幂级数?n的收敛半径为3

n?13nxn1y115．交换二次积分?0dy?0f(x,y)dx的积分次序为?dx?f(x,y)dy

0x

二．计算题（每小题8分，共32分）

1．设z?ln(x2?y3)，求

?z2?x,?z?x?y

?z2x22解：

?x?x2?y3，

?z6xy?x?y??(x2?y3)2

重庆大学试卷 教务处07版 第 1 页 共 2 页

?2．判定无穷级数

?3n

n?1n3的敛散性。3n?1a3解：??limn?1a?n??lim(n?1)nn??3n?3?1

n3所以原级数发散。

3．求微分方程

dydx?1xy?2x2的通解

解：此方程为一阶线性微分方程，所以其通解为

11y?e?xdx[?2x2e??xdxdx?C]?x(?2xdx?C)?x(x2?C)

4．设 z?uv?sint,u?et,v?cost3，求

dzdt.

解：

dzdt?vdudt?udvdt?cost

?etcost3?3t2etsint3?cost

三．计算题（每小题8分，共40分）．

1．设z?f(xy,exy)，f具有一阶连续偏导数，求

?z?z?x,?y 解：?z?z?x?yf1?yexyf2，

?y?xf1?xexyf2

命题人： 组题人 ： 审题人 ： 命题时间 ： 教务处 制

22．计算二重积分 ??yx2?y2?2x围成的平面区

Dx2dxdy，其中 D是由曲线 域。

??y222cos??2sin2?2解：??2dxdy??d??d??4?sin2?d???Dx???0?2cos2?0

2

3．计算二重积分

??ey2dxdy，其中D是由y?x,y?1及y轴所围成的平面区

D域。

1y1解：??ey2dxdy??ey2dy?dx??yey2dy?1y211D0002e0?2(e?1)

4．将函数f(x)?1x2?4x?3展开成(x?2)的幂级数。

解：f(x)?112?x?1?1?1?1112x?36??1

1?x?210?31?x?25n ?1?1?6?(?1)n(x?2)(?1)n(x?2)nn?03n?10?5n

n?0? ??(?1)n(1?1nnn?06?3n10?5)(x?2)(?1?x?5)

重庆大学试卷 教务处07版 第 2 页 共 2 页

5．求微分方程 y''?2y'?y?e2x的通解 解：原方程对应的齐次方程为 y''?2y'?y?0

其特征方程为 r2?2r?1?0，特征根为 r1?r2??1

所以齐次方程的通解为Y(x)?e?x(C1?C2x)

又??2不是特征方程 r2?2r?1?0的根，所以原方程的特解可设为

y*(x)?Ae2x 代入原方程得 A?19，所以y*(x)?12x9e

故原方程的通解为 y(x)?e?x(C11?C2x)?9e2x

四．证明题（8分）???如果?a2与?b2nn收敛，则?(an?b2n)也收敛。

n?1n?1n?1证明：由于0?(a2n?bn)2?a2n?b2n?2anbb?2(a2n?bn)

??而2?(a2?b2nn)收敛，故?(an?b2n)也收敛。

n?1n?1