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第三章 线性系统的时域分析与校正

习题及答案

3-1 已知系统脉冲响应

k(t)?0.0125e?1.25t

试求系统闭环传递函数?(s)。

解 ?(s)?Lk(t)?0.012/5(s?1.25) 3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程

Tc(t)?c(t)??r(t)?r(t)

近似描述，其中，0?(T??)?1。试证系统的动态性能指标为 td??0.693?ln??????T??????T

?T?? tr?2.2T ts??3?ln(T??T???)?T ?1 s解 设单位阶跃输入R(s)?当初始条件为0时有：

C(s)?s?1? R(s)Ts?11T???

Ts?1ssTs?1T???t/TC(t)?h(t)?1?e

T1) 当 t?td 时

T???td/te h(t)?0.5?1?T ?C(s)??s?11??

1T???td/T?T???td?e ; ?ln2?ln??? 2T?T?T??T????td?T?ln2?ln???

T???? ? 26

2) 求tr（即c(t)从0.1到0.9所需时间)

T??T???t2/T)?ln0.1] e; t2?T[ln(TTT??T???t1/T)?ln0.9] e 当 h(t)?0.1?1?; t1?T[ln(TT0.9?2.2T 则 tr?t2?t1?Tln0.13) 求 ts

T???ts/Te h(ts)?0.95?1? TT??T??T???ts?T[ln?ln0.05]?T[ln?ln20]?T[3?ln]

TTT 当 h(t)?0.9?1?3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。要求系统闭环增益K??2，调节时间ts?0.4s，试确定参数K1,K2的值。

解 由结构图写出闭环系统传递函数

1K1K1K2s?(s)???

K1K2s?K1K2s?11?K1K2s令闭环增益K??1?2， 得：K2?0.5 K23?0.4，得：K1?15。 K1K2令调节时间ts?3T?3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图3-46（a）和（b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。

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（1） 若r(t)?1(t)，n(t)?0两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时

间？

（2） 当有阶跃扰动n(t)?0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。

解 （1）对（a）系统： Ga(s)?K1?， 时间常数 T?10

10s?110s?1? h(T)?0.632 （a）系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间；

10010100对（a）系统：?b(s)? ?101， 时间常数 T?1010110s?101s?1101? h(T)?0.632 （b）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。

（2）对（a）系统： Gn(s)?C(s)?1 N(s)n(t)?0.1时，该扰动影响将一直保持。

对（b）系统： ?n(s)?C(s)?N(s)110s?1? 10010s?1011?10s?11?0.001。 101n(t)?0.1时，最终扰动影响为0.1?3-5 一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变，测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度为稳态值的50%或63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（如图3-47）和所测数据,并假设传递函数为

G(s)?可求得K和a的值。

?(s)K? V(s)s(s?a)若实测结果是：加10V电压可得1200rmin的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2s，试求电机传递函数。

提示：注意

d??(s)K?，其中?(t)?dtV(s)s?a，单位是rads

28

解 依题意有： v(t)?10 （伏） ?(?)?1200?2??40? （弧度/秒） （1）

60 ?(1.2)?0.5?(?)?20? （弧度/秒） （2） 设系统传递函数 G0(s)??(s)K ?V(s)s?as?0应有 ?(?)?limsG0(s)?V(s)?lims?s?010K10K???40? （3） ss?aa ?(t)?L?1?G0(s)?V(s)??L?1?由式（2），（3） ?(1.2)??10K?10K?1?11?10K?at ?L??1?e???aa?ss?a??s(s?a)???10K1?e?1.2a?40?1?e?1.2a?20? a????得 1?e解出 a??1.2a?0.5

?ln0.5?0.5776 （4） 1.2将式（4）代入式（3）得 K?4?a?7.2586

3-6 单位反馈系统的开环传递函数G(s)?4，求单位阶跃响应h(t)和调节时间

s(s?5)ts 。

解：依题，系统闭环传递函数

?(s)?44??2s?5s?4(s?1)(s?4)4(s?11)(s?)T1T2 ??T1?1

?T2?0.25C(s)??(s)R(s)?CCC4?0?1?2

s(s?1)(s?4)ss?1s?44?1

s?0(s?1)(s?4)44??

s(s?4)3 C0?lims?(s)R(s)?lims?0 C1?lim(s?1)?(s)R(s)?lims??1s?0 29

C2?lim(s?4)?(s)R(s)?lims??4s?041?

s(s?1)341h(t)?1?e?t?e?4t

33?

?ts?T1??4， ?ts????T1?3.3T1?3.3。 T2T?1?3-7 设角速度指示随动系统结构图如图3-48所示。若要求系统单位阶跃响应无超调，

且调节时间尽可能短，问开环增益K应取何值，调节时间ts是多少？

解 依题意应取 ??1，这时可设闭环极点为

?1,2??1T0。

写出系统闭环传递函数

?(s)?闭环特征多项式

10K 2s?10s?10K?12s? D(s)?s?10s?10K???T0???1?22????s?s???? TT0??0?22?2?T?10?T0?0.20?比较系数有 ? 联立求解得 ? 2??1K?2.5?????10K?????T0?因此有 ts?4.75T0?0.95???1??

3-8 给定典型二阶系统的设计指标：超调量

?%?5%，调节时间 ts?3s，峰值时间tp?1s，

试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。

解 依题

?%?5%， ???0.707(??45?)；

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