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近世代数单元测试题（一）

（院系：软件学院 年级：2007级）

一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末括号里） 1．设S={a,b}，则S上总共可定义的二元运算的个数是（ ）

A.4 B.8 C.16 D.32 2．设集合A?{1,2,3,...,10}，下面定义的哪种运算关于集合A是不封闭的（ ）。 A．x*y?max{x,y} B．x*y?min{x,y} C．x*y?GCD(x,y) 即x,y的最大公约数 D．x*y?LCM{x,y} 即x,y的最小公倍数

3．下面定义的哪种运算关于给定的集合是封闭的（ ）。 A． 集合S={1,-1}关于普通的减法运算 B． 集合S={0,1}关于普通的加法运算

C． 集合S?{2x?1|x?Z?}关于普通的加法运算 D． 集合S?{2n|n?Z?}关于普通的乘法运算

4．在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ） A.a*b=a-b B.a*b=max{a,b} C.a*b=a+2b D.a*b=|a-b| 5．对自然数集N，下列哪种运算是不可结合（ ）。

a*b?a?b?3 B．a*b?a?2b D．a*b?min{a,b} C．A． a*b?ab(mod3) 6．设?是正整数集Z上的二元运算，其中a?b?max?a,b?（即取a与b中的

+最大者），那么?在Z中（ ）

A．不适合交换律；B．不适合结合律；C．存在单位元；D．每个元都有逆元。

二、填空题

1．集合A={a , b , c }上总共可定义的二元运算的个数为______。

2、设S是非空有限集，代数系统?P(S),?,??中，P(S)对?运算的单位是 ________，P(S)对?运算的单位元____。

3．设A?{1,?1}，则关于普通加法、减法、乘法中___ ____运算是封闭的。 4．设Zn?{0,1,2,...,n?1}，在代数系统?Zn,?,??中，?,?分别表示模n的加法和乘法，则Zn对?运算的单位元是______， Zn对?的单位元是_______。

1

+5．设G={1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6}，G关于模7乘法构成代数系统，群G的幺元是_________，元素3与______互为逆元。

三、判断题

1. 设(N,*)是代数系统，其中N为自然数集，*为二元运算，定义为：对任何的a,b?N，有a*b=a，则*是可结合的。（ ）

2. 在一个代数系统中，若一个元素的逆元是惟一的，则运算必定是可结合的。（ ）

3. 设*是S上的可结合运算，若a?S是可逆的，则a也是可消去的。（ ） 4. 设*是S上的可结合运算，若a?S是可消去的，则a也是可逆的。（ ） 5. 设(A,ο,*)是一个代数系统，对于任意的a,b?A，有aοb=a，而*是A上的任意二元运算，则*对ο不一定是可分配的。（ ）

四、解答题

1、在实数集合R上定义二元运算X*Y?XY?2X?2Y?6 （1） 验证*是否满足交换律和结合律。 （2） 求*的单位元。

（3） 对任何实数X，求其逆元。

2．设代数系统?A,*?，其中A?{a,b,c,d}，*运算定义如下表，请指出*运算是否是可交换的；是否有单位元；如果有单位元，指出哪些元素是可逆的，并给出它们的逆元。

*abcdaabcdbbcdaccdabddabc

3．设代数系统V??P{a,b},??，?为集合的求对称差运算，求V的所有子代数，并说明哪些是非平凡的真子代数。

4．设代数系统V??{1,2,3},?,1?，其中x?y表示求x和y之中的较大的数，求V的所有子代数，并说明哪些是非平凡的真子代数。

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