内容发布更新时间 : 2024/12/23 8:04:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
nn+1234
则aS=a+a+a+a+…+a+a②, n+1
②–①得:(a–1)S=a–1,
a=1时,不能直接除以a–1,此时原式等于n+1;
an?1?1a≠1时,a–1才能做分母,所以S=,
a?1an?1?1. 即1+a+a+a+a+…+a=
a?12
3
4
n
【名师点睛】根据题目给出的信息,提炼解题方法.认真观察、仔细思考,善用联想,利用类比的方法是解决这类问题的方法. 8.(2019·江西)特例感知
222(1)如图1,对于抛物线y1??x?x?1,y2??x?2x?1,y3??x?3x?1,下列结论正确的序
号是_________;
①抛物线y1,y2,y3都经过点C(0,1);
②抛物线y2,y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移
1个单位得到; 2③抛物线y1,y2,y3与直线y?1的交点中,相邻两点之间的距离相等. 形成概念
2(2)把满足yn??x?nx?1(n为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.
知识应用
在(2)中,如图2.
①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1,P2,P3,…,Pn,用含n的代数式表示顶点Pn的坐标,并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式;
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”:C1,C2,C3,…,Cn,其横坐标分别为:?k?1,?k?2,?k?3,…,?k?n(k为正整数),判断相邻两点之间的距离是否都相等,若相等,直接写出相邻两点之间的距离;若不相等,说明理由.
③在②中,直线y?1分别交“系列平移抛物线”于点A1,A2,A3,…,An,连接CnAn,Cn?1An?1,判断CnAn,Cn?1An?1是否平行?并说明理由.
【答案】(1)①②③
?nn2?2(2)①Pn??,?1?,y?x?1.
?24?②相邻两点之间的距离相等,相邻两点距离为1?k2.
③不平行,直线CnAn的斜率(比例系数)为k?n,与n取值有关(若两直线平行,则斜率会相等). 【解析】(1)①当x=0,y1?y2?y3?1,所以正确;
②y1,y2,y3的对称轴分别是直线x1??,x2??1,x3??,所以正确;
③y1,y2,y3与y?1交点(除了点C)横坐标分别为–1,–2,–3,所以距离为1,都相等,正确.
2?nn2?4?n?n2?4?(2)①yn??x?nx?1???x???,所以顶点Pn??,?,
4?2?4??2212322nn2?4?n?n?4?????1?x2?1, 令顶点Pn横坐标x??,纵坐标y?,y?244?2?2即:Pn顶点满足关系式y?x?1.
2②相邻两点之间的距离相等.
理由:根据题意得;Cn?k?n,?k?nk?1,Cn?1?k?n?1,?k?nk?k?1, ∴CnCn–1两点之间的铅直高度=?k?nk?k?1??k?nk?1?k. CnCn–1两点之间的水平距离=?k?n?1?(?k?n)?1.
22
∴由勾股定理得CnCn–1=k+1,
?2??2?2?2?∴CnCn–1=k2?1. ③CnAn与Cn?1An?1不平行. 理由:
根据题意得:Cn?k?n,?k?nk?1,Cn?1?k?n?1,?k?nk?k?1,
?2??2?
An??n,1?,An?1??n?1,1?.
过Cn,Cn–1分别作直线y=1的垂线,垂足为D,E,
所以D(–k–n,1),E(–k–n+1,1). 在Rt△DAnCn中,
2CnD1???k?nk?1?k2?nktan∠DAnCn=???k?n,
AnD?n?(?k?n)k在Rt△EAn–1Cn–1中,
2Cn?1E1???k?nk?k?1?k2?nk?ktan∠EAn–1Cn–1=???k?n?1,
An?1E?n?1?(?k?n?1)k∵k?n?1≠k?n,
∴tan∠DAnCn≠tan∠EAn–1Cn–1, ∴CnAn与Cn?1An?1不平行.
9.(2019·甘肃白银)阅读下面的例题及点拨,并解决问题:
例题:如图①,在等边△ABC中,M是BC边上一点(不含端点B,C),N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点,且AM=MN.求证:∠AMN=60°.
点拨:如图②,作∠CBE=60°,BE与NC的延长线相交于点E,得等边△BEC,连接EM.易证:△ABM≌△EBM(SAS),可得AM=EM,∠1=∠2;又AM=MN,则EM=MN,可得∠3=∠4;由∠3+∠1=∠4+∠5=60°,进一步可得∠1=∠2=∠5,又因为∠2+∠6=120°,所以∠5+∠6=120°,即:∠AMN=60°. 问题:如图③,在正方形A1B1C1D1中,M1是B1C1边上一点(不含端点B1,C1),N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点,且A1M1=M1N1.求证:∠A1M1N1=90°.
【答案】见解析.
【解析】延长A1B1至E,使EB1=A1B1,连接EM1、EC1, 如图所示:
则EB1=B1C1,∠EB1M1=90°=∠A1B1M1, ∴△EB1C1是等腰直角三角形, ∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°,
∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点, ∴∠M1C1N1=90°+45°=135°, ∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°, ∴E、C1、N1三点共线,
?A1B1?EB在△A?11B1M1和△EB1M1中,??A?1B1M1??EB1M1,
?B1M1?B1M1∴△A1B1M1≌△EB1M1(SAS), ∴A1M1=EM1,∠1=∠2,