2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线练习(含解析) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/11/20 4:26:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

4

又FA的方程为y=(x-1),①

3

MN的方程为y-2=-x,②

84

联立①②,解得x=,y=,

55

34

?84?所以点N的坐标为?,?. ?55?

[能力提升]

1.(2019·台州书生中学月考)抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°,过AB的中点M作抛物线准线l的垂线MN,垂足为N,|MN|则的最大值为( ) |AB|

A.3 3

B.1 D.2

2

23C.

3

解析:选A.过A、B分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为A1,B1,连接AF、BF,由抛11222

物线的定义知|MN|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|),在△AFB中,|AB|=|AF|+|BF|

22-2|AF||BF|·cos 120°=|AF|+|BF|+|AF||BF|.

2

2

?|MN|?=1·|AF|+|BF|+2|AF||BF|

所以???|AB|?4|AF|2+|BF|2+|AF||BF|

|AF||BF|1??

=?1+22?4?|AF|+|BF|+|AF||BF|?

1??11?11?1+

|AF||BF|?≤×?1+=??=,

++1?4?2+1?34?

?|BF||AF|?

|MN|3

当且仅当|AF|=|BF|时取等号,所以的最大值为. |AB|3

→→2

2.已知F为抛物线y=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )

A.2

B.3

2

22

172C.

8

解析:选B.设A(x1,x1),B(x2,-x2), 111

则S△AFO=×x1=x1.

248→→

由OA·OB=2得x1x2-x1x2=2, 即x1x2-x1x2-2=0,解得x1x2=4, →→222

所以(|OA|·|OB|)=(x1+x1)(x2+x2) =x1x2+x1x2·(x1+x2)+x1x2 =20+4(x1+x2),

→→OA·OB因为cos∠AOB=,

→→|OA||OB|所以sin∠AOB=1-cos∠AOB

2

22

D.10

?1-???

?.

→→?|OA||OB|?

→OA·OB?2

1→→

所以S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB

21→→=|OA||OB|21= 2=

?1-???

?

→→?|OA||OB|?

→OA·OB?2

→→→→22

(|OA||OB|)-(OA·OB)

1

16+4(x1+x2)=4+(x1+x2) 2

x1+4+=x1+,

x1x1

929216

x1·=3,当x1=,即x1=时等号成889x1x1

42

92

所以S△ABO+S△AFO=x1+≥28x1

立.

3.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y=2px(p>0)经过C,F两点,则=________.

2

ba

2?a=pa,aa?????解析:依题知C?,-a?,F?+b,b?,因为点C,F在抛物线上,所以?2

?2??2??b=p(a+2b),?

bbb?b?两式相除得??-2-1=0,解得=1+2或=1-2(舍). aaa?a?

答案:1+2

4.(2019·台州市高考模拟)如图,过抛物线y=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线→→→

分别交于A,B,C三点,若FC=4FB,则|AB|=________.

2

2

解析:

分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,则DF=p=2,由抛物线的定义可知FB=BB1,AF=AA1,

DFFC4→→

因为FC=4FB,所以==,

BB1BC3

3

所以FB=BB1=.

2所以FC=4FB=6,

DF1

所以cos ∠DFC==,

FC3

所以cos ∠A1AC=

AA1AF1==,解得AF=3, ACAF+63

39

所以AB=AF+BF=3+=. 229答案: 2

5.已知抛物线x=4y的焦点为F,P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点. (1)当|PF|=2时,求点P的坐标;

(2)求点P到直线y=x-10的距离的最小值.

解:(1)由抛物线x=4y的焦点为F,P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点,

22

?a?故设P?a,?(a>0),

?4?

因为|PF|=2,结合抛物线的定义得+1=2,

4所以a=2,所以点P的坐标为(2,1).

2

a2

?a?(2)设点P的坐标为P?a,?(a>0), ?4?

则点P到直线y=x-10的距离为12

因为-a+10=(a-2)+9,

44

所以当a=2时,-a+10取得最小值9,

49

故点P到直线y=x-10的距离的最小值为2.

2

6.(2019·杭州宁波二市三校联考)已知A,B,C是抛物线y=2px(p>0)上三个不同的点,且AB⊥AC.

2

2

?a-a-10??a-a+10??4??4?????

2

=2

22

.

a2

a2

(1)若A(1,2),B(4,-4),求点C的坐标;

(2)若抛物线上存在点D,使得线段AD总被直线BC平分,求点A的坐标.

解:(1)因为A(1,2)在抛物线y=2px(p>0)上,所以p=2.所以抛物线方程为y=4x.

2

2