内容发布更新时间 : 2024/11/20 4:26:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
4
又FA的方程为y=(x-1),①
3
MN的方程为y-2=-x,②
84
联立①②,解得x=,y=,
55
34
?84?所以点N的坐标为?,?. ?55?
[能力提升]
1.(2019·台州书生中学月考)抛物线y=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°,过AB的中点M作抛物线准线l的垂线MN,垂足为N,|MN|则的最大值为( ) |AB|
A.3 3
B.1 D.2
2
23C.
3
解析:选A.过A、B分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为A1,B1,连接AF、BF,由抛11222
物线的定义知|MN|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|),在△AFB中,|AB|=|AF|+|BF|
22-2|AF||BF|·cos 120°=|AF|+|BF|+|AF||BF|.
2
2
?|MN|?=1·|AF|+|BF|+2|AF||BF|
所以???|AB|?4|AF|2+|BF|2+|AF||BF|
|AF||BF|1??
=?1+22?4?|AF|+|BF|+|AF||BF|?
1??11?11?1+
|AF||BF|?≤×?1+=??=,
++1?4?2+1?34?
?|BF||AF|?
|MN|3
当且仅当|AF|=|BF|时取等号,所以的最大值为. |AB|3
→→2
2.已知F为抛物线y=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,OA·OB=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是( )
A.2
B.3
2
22
172C.
8
解析:选B.设A(x1,x1),B(x2,-x2), 111
则S△AFO=×x1=x1.
248→→
由OA·OB=2得x1x2-x1x2=2, 即x1x2-x1x2-2=0,解得x1x2=4, →→222
所以(|OA|·|OB|)=(x1+x1)(x2+x2) =x1x2+x1x2·(x1+x2)+x1x2 =20+4(x1+x2),
→→OA·OB因为cos∠AOB=,
→→|OA||OB|所以sin∠AOB=1-cos∠AOB
2
22
D.10
=
?1-???
→
?.
→→?|OA||OB|?
→OA·OB?2
1→→
所以S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB
21→→=|OA||OB|21= 2=
?1-???
→
?
→→?|OA||OB|?
→OA·OB?2
→→→→22
(|OA||OB|)-(OA·OB)
1
16+4(x1+x2)=4+(x1+x2) 2
=
x1+4+=x1+,
x1x1
929216
x1·=3,当x1=,即x1=时等号成889x1x1
42
92
所以S△ABO+S△AFO=x1+≥28x1
立.
3.如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a<b),原点O为AD的中点,抛物线y=2px(p>0)经过C,F两点,则=________.
2
ba
2?a=pa,aa?????解析:依题知C?,-a?,F?+b,b?,因为点C,F在抛物线上,所以?2
?2??2??b=p(a+2b),?
bbb?b?两式相除得??-2-1=0,解得=1+2或=1-2(舍). aaa?a?
答案:1+2
4.(2019·台州市高考模拟)如图,过抛物线y=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线→→→
分别交于A,B,C三点,若FC=4FB,则|AB|=________.
2
2
解析:
分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为A1,B1,则DF=p=2,由抛物线的定义可知FB=BB1,AF=AA1,
DFFC4→→
因为FC=4FB,所以==,
BB1BC3
3
所以FB=BB1=.
2所以FC=4FB=6,
DF1
所以cos ∠DFC==,
FC3
所以cos ∠A1AC=
AA1AF1==,解得AF=3, ACAF+63
39
所以AB=AF+BF=3+=. 229答案: 2
5.已知抛物线x=4y的焦点为F,P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点. (1)当|PF|=2时,求点P的坐标;
(2)求点P到直线y=x-10的距离的最小值.
解:(1)由抛物线x=4y的焦点为F,P为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点,
22
?a?故设P?a,?(a>0),
?4?
因为|PF|=2,结合抛物线的定义得+1=2,
4所以a=2,所以点P的坐标为(2,1).
2
a2
?a?(2)设点P的坐标为P?a,?(a>0), ?4?
则点P到直线y=x-10的距离为12
因为-a+10=(a-2)+9,
44
所以当a=2时,-a+10取得最小值9,
49
故点P到直线y=x-10的距离的最小值为2.
2
6.(2019·杭州宁波二市三校联考)已知A,B,C是抛物线y=2px(p>0)上三个不同的点,且AB⊥AC.
2
2
?a-a-10??a-a+10??4??4?????
2
=2
22
.
a2
a2
(1)若A(1,2),B(4,-4),求点C的坐标;
(2)若抛物线上存在点D,使得线段AD总被直线BC平分,求点A的坐标.
解:(1)因为A(1,2)在抛物线y=2px(p>0)上,所以p=2.所以抛物线方程为y=4x.
2
2