内容发布更新时间 : 2024/11/14 13:08:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

拓扑学(Topology)

一、基本信息

适用专业：数学与应用数学专业 课程编号： 教学时数：72学时 学 分：4

课程性质：专业核心课

开课系部：数学与计算机科学院

使用教材：梁基华，蒋继光《拓扑学基础》.高等教育出版社 参考书

[1]（美）亚当斯 著，沈以淡 等译《拓扑学基础及应用》.机械工业出版社; [2] Munkries \； [3]尤承业《基础拓扑学讲义》. 北京大学出版社. 二、课程介绍

拓扑学要求掌握一般拓扑学的基本知识，学习处理拓扑学问题的基本方法。了解拓扑学与其他一些学科的联系，强化抽象思维与逻辑推理能力，提高数学素养,为进一步学习奠定基础

三、考试形式

考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，，期末考试百分之八十。期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。

四、课程教学内容及课时分配

第一章 集，映射与序结构

要求

(1) 熟练笛卡儿积和商集的构造。

(2) 了解选择公理与等价的引理，并能在证明中正确应用。 (3)掌握映射的基本性质

(4)了解偏序集，保序映射，定向与可滤，上，下确界，格与完备格的概念

主要内容

作为准备，本章介绍有关集合的基本概念，可数集与不可数集的有关结果。集合的交，并，补，笛卡儿积，商集运算极其性质，刻画。选择公理和Zorn引理。映射极其基本性质，偏序集的有关概念和结果，保序映射，序同构。

难点 定向与可滤，上，下确界，格与完备格的概念 课时安排（8学时）

a) 映射及其性质（1学时） b) 序论基础（6学时）

c) 笛卡儿积与选择公理（1学时）

第二章 拓扑空间

要求

本章是拓扑学最基础的内容，要求理解，熟悉本章的各种概念及其相互联系。熟练应用生成拓扑的各种方法，了解几个具体的拓扑空间。理解分离性和可数性及其等价刻画。

主要内容

拓扑空间的定义，开集，闭集。生成拓扑的各种方法。基，邻域，闭包，内部极其刻画。 正规，正则分离性。连续映射极其等价刻画，同胚映射与拓扑性质。网与滤子的收敛，相互关系。乘积空间，映射的乘积和乘性问题。

重难点 拓扑空间、基、网与漉子的收敛、连续映射 课时安排（16学时）

a) 拓扑空间，开集，基，邻域(2学时) b) 闭包，内部与分离性(3学时) c) 连续映射与同胚(3学时) d) 网与漉子的收敛(4学时) e) 乘积空间(4学时)

第三章 几类重要的拓扑空间 要求

这一章是一般拓扑学的经典内容，在数学的其他学科也有着重要的应用。因此要求理解这几类空间的定义，等价刻画，基本性质以及相互联系。

主要内容

度量空间，度量拓扑，基本性质。可度量化空间，完备度量空间。正规性和完全正则性， Uryson引理和Tietze扩张定理。收缩映射与绝对收缩映射，Tychonoff嵌入定理。紧空间极其基本性质，可度量化空间，完备度量空间。正规性和完全正则性度量空间的刻画与性质。紧化理论。

重难点 可度量化空间、完备度量空间、正规性、完全正则性、紧性 课时安排（16学时）

a）度量空间（4学时）

b) 具有函数分离性的空间（4学时） c) 紧空间与紧化（4学时）

d) 连通与道路连通空间（4学时）

第四章 拓扑与序结构 要求

了解处理拓扑学问题的另一种方法，拓扑与序结构之间的有机联系。

主要内容

分配格与连续格极其刻画，拓扑与序结构的有机联系。局部紧空间及其性质，以及与连续格的相互联系。分配格和布尔代数的拓扑表示定理。Stone空间的刻画

课时安排（16学时）

a) 具有分配性的格（4学时） b) Sober空间与特殊序（4学时） c) 局部紧空间（4学时） d) Stone 对偶理论（4学时）

第五章 基本群 要求

理解商空间和商映射的概念，掌握利用商空间粘和曲面的方法。了解用代数学方法处理拓

扑学问题的基本思想。了解基本群及其基本性质，以及简单空间的基本群的计算方法

主要内容

商空间和商映射，各种经典的几何曲面的商空间刻画。闭曲面的构造。基本群的建立及其基本性质。道路与同伦提升定理。几类基本空间的基本群的计算。代数基本定理和Brower不动点定理的证明

课时安排（16学时）

e) 商空间与各种曲面的制作（4学时） f) 基本群的概念与性质（4学时） g) 覆盖空间（4学时）

h) 基本群的计算与应用（4学时）