内容发布更新时间 : 2025/1/9 11:19:35星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

平面向量的概念与线性运算

知识梳理： 1.向量的有关概念

(1).向量:既有 ,又有 的量叫向量;通常记为 ;长度为 的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.

(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 . (3).相等向量: (4).相反向量: 2.向量 加法与减法

(1).向量加法按 法则或 法则;

向量加运算律:交换律: ;结合律: (2).向量减法作法: 3.实数与向量的积

(1). 实数错误！未找到引用源。与向量a的积是一个向量,记作错误！未找到引用源。,它的长度与方向规定如下：

长度：

方向： (2)．运算律

4.共线定理:

5.平面向量基本定理:

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6.基底:

二、题型探究

探究一：平面向量的基本概念 例1．给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a=b； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB?DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若a=b，b=c，则a=c； ④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b； ⑤ 若a//b，b//c，则a//c； 其中正确的序号是 。

解析：（1）①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同； ②正确；∵ AB?DC，∴ |AB|?|DC|且AB//DC，

又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则，AB//DC且|AB|?|DC|，

因此，AB?DC。

③正确；∵ a=b，∴ a，b的长度相等且方向相同； 又b＝c，∴ b，c的长度相等且方向相同， ∴ a，c的长度相等且方向相同，故a＝c。

④不正确；当a//b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b|且a//b不是

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a=b的充要条件，而是必要不充分条件；

⑤不正确；考虑b=0这种特殊情况； 综上所述，正确命题的序号是②③。

点评：本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多，因而容易遗忘。为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想。

例2：设a0为单位向量，

（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|·a0; (2) 若a与a0平行，则a=|a|·a0；

（3）若a与a0平行且|a|=1，则a=a0。上述命题中，假命题个数是（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时a=－|a|a0，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。

点评：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。 探究二：平面向量的线性运算

例2：如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若BA=a，BC=b，试用a，b将向量OE，BF，BD， FD表示出来。

（1）解析：根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量a，b来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。

因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中A，B，C四点构成平行四边形ABCO，

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AaBbCO心O及顶点

FED