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华南农业大学期末考试试卷（A）卷
2005学年第2学期
高等数学（工科） 考试时间：120分钟
一.填空题（每题3分，共24分）
?xy?22z?f(x,y)?x?y?1.已知函数
??0x的一阶导数fx(0,0)?_____
解答：fx(0,0)?limx?0x2?y2?0x?y?022，在点(0,0)处对
f(x,0)?f(0,0)0?lim?0 x?0xx?0222.设D:x?y?4x，则??f(x,y)dxdy在极坐标系下的二次积分
D为_____
解答：积分区域就是??24cos??2????2,0???4cos?，因此
??f(x,y)dxdy???d??f(?cos?,?sin?)?d?
D?023.设f(x)是周期为2?的周期函数，它在[??,?)上的表达式为
??2???x?0f(x)??，则f(x)的傅立叶级数在x?0时收敛于
10?x???_____
解答：函数f(x)在x?0处间断，且f(0?0)??2,f(0?0)?1，从而傅立叶级数在x?0处收敛于
11(?2?1)?? 22sin(xy2)?_____ 4.limx?0xy?21 / 7
(x,ylimsin(xy2))?(0,2)x?(x,ylimsin(xy2解答：)2sint)?(0,2)xy2(x,ylim)?(0,2)y?4limt?0t?4 5.函数z?e?xsin(x?2y)在点(0,?4)处的全微分为_____
解答：
?z?x??e?xsin(x?2y)?e?xcos(x?2y)，
?z?x??1
(0,?4)?z?2e?x?z?ycos(x?2y)，?y?0
(0,?4)从而函数在该点处的全微分为?dx
?6.若级数?1p?_____
n?1np?3发散，则解答：p?3?1?p??2
7.设由方程2x2?y2?z2?2z?0确定隐函数z?f(x,y)，?z?x?_____ 解答1：两边对x求偏导得4x?2z?z?x?2?z?z2x?x?0，从而?x?1?z 解答2：两边微分得4xdx?2ydy?2zdz?2dz?0 整理得(1?z)dz?2xdx?ydy，即dz?2x1?zdx?y1?zdy 于是
?z2x?zy?x?1?z,?y?1?z 8.微分方程y//?2y/?5y?0的通解为_____
解答：特征方程为r2?2r?5?0 解得r1,2??1?2i 因此原方程的通解为y?e?x(C1cos2x?C2sin2x)
二.选择题（每题2分，共16分）
2 / 7
则
/??xy?y?31.微分方程?y?0的特解是（ ）
??x?11??31??? B.3(1?x) A.
x??1C.1? D.1?x
x解答：分离变量得
dydx? 3?yx两边积分得y?3?代入初始条件得c?选A
1 cx31?1?，从而特解为y?3??3?1??
xx?3?2.设点(0,0)是函数f(x,y)的驻点，则函数f(x,y)在(0,0)处（ ）
A.必有极大值 B.可能有极值，也可能无极值 C.必有极小值 D.必无极值
解答：选B
2222(x?y)d??（ ）3.二重积分??，其中区域D:x?y?2所
D围成的闭区域
A.? B.2? C.4? D.8?
解答：用极坐标系计算
2?2222(x?y)d??d????????d??2? D00选B
4.若在点M处可微，则在点M处沿任何方向的方向导数（ ）
3 / 7
A.必定存在 B.必定不存在 C.可能存在也可能不存在
D.仅在x轴y轴方向存在，其它方向不存在
解答：选A
5.若L是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形的边界，则
?(x?y)ds?（ ）
LA.1?2 B.2?2 C.1?2 D.2?2
1解答：OA段的参数方程为y?0,0?x?1，因此(x?y)ds?OA1??x1?0dx?01 2AB段的参数方程为y?1?x,0?x?1，因此(x?y)ds?11?1dx?AB10??2
OB段的参数方程为x?0,0?y?1，因此从而(x?y)ds?LOB?(x?y)ds??y1?0dy?01 2?OA?AB?OB?(x?y)ds?1?2
选C
6.设区域G为开区域，函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy在G内与路径无关的充分必要条件是（ ） ?Q?P?(?(x,y)?G) A.
?x?yB.任取区域G内一条闭合曲线C，有?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
CC.存在一个二元函数u?u(x,y)，使得du?P(x,y)dx?Q(x,y)dy D.以上答案都正确
4 / 7
解答：选D
7.设?表示平面x?y?z?1上被三个坐标面截下的部分，则
??(x?y?z)dS为（ ）
?3A.1 B.
2C.3 D.23
解答：曲面?的方程为z?1?x?y，在xOy面上的投影D为x轴、y轴、x?y?1所围区
域，因此选B
??(x?y?z)dS???1?1?1?1dxdy?3??dxdy??DD3 2?u?（ ） 8.设u?f(xy,x?y?z)，则?z222A.f1?2zf2 B.yf1?2zf2 C.xf1?2zf2 D.2zf2
解答：选D
?u???f1(xy)?f2(x2?y2?z2)?2zf2 ?z?z?z三.（本题13分）计算三重积分???zdV，其中?是由曲面
?z?2?x2?y2及z?x2?y2所围成的闭区域
解答1：由立体的形状及积分函数的特点，选先算二重积分再算一重积分的方法，把z放在
最外层积分。
当0?z?1时，用垂直于z轴的平面截立体所得截面Dz?在z轴上的投影为0?z?2，为x?y?z；当1?z?221
2时，用垂直于z轴的平面截立体所得截面Dz2为
x2?y2?2?z2，从而文档来自于网络搜索 121223zdv?dzzdxdy?dzzdxdy??zdz??(2z?z)dz?????????????0Dz11Dz2017? 12解答2：用柱面坐标系计算
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