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院、系领导 审批并签名 A 卷 广州大学 2017- 2018 学年第 一 学期考试卷

参考解答与评分标准

课 程：概率论与数理统计（48学时） 考 试 形 式：闭卷考试

学院__________系_______专业______ 班级_____学号___________姓名_________ 题 次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 评卷人 分 数 15 15 8 8 10 10 12 12 10 100 得 分 一、选择题（每小题3分，总计15分）

1．三人各投一次球，设Ai表示“第i人投中”(i?1,2,3),则A1A2A3表示（ C ）. （A）三人都投中；

（C）三人至多有两人投中；

（B）三人中至少有一人投中； （D）三人都没投中.

2．设随机事件A,B满足0?P(A)?1,P(B)?0,且P(B/A)?P(B/A),则必有( D ). (A)P(A/B)?P(A/B)； (B)P(A/B)?P(A/B)； (C)P(A/B)?P(B/A)； (D)P(AB)?P(A)P(B).

3.设X~N(5,32)，且常数c满足P{X?c}?P{X?c}，则c =( D ). (A) 0； (B) 1； (C) 3； (D) 5. 4.设X和Y为两个随机变量，则( A )能得出X和Y独立.

(A) F(x,y)?FX(x)FY(y) ； (B)E(XY)?E(X)E(Y)； (C)E(X?Y)?E(X)?E(Y)； (D)D(X?Y)?D(X)?D(Y). 5.设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布为

Y X 0 1 a 0.1 0 1 0.4 b 已知随机事件{Y?0}与{X?Y?1}相互独立，则( D ). (A) a?0.3,b?0.2； (B) a?0.4,b?0.1； (C)a?0.2,b?0.3； (D) a?0.1,b?0.4.

二、填空题（每空3分，总计15分）

1．设P(B)?0.28, P(B/A)?0.6, P(A/B)?0.75，那么P(A?B)? 0.42 .

52．将一颗骰子连续掷三次，则恰好有两次出现“6”点的概率为 .

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3．从数1，2，3中任取一个数记为X，再从1， ,X中任取一个数记为Y，则P{Y?2}?5 . 1824．设随机变量?~U(a,b)，且E??4, D??3, 则P{0???5}? .

35．设连续型随机变量X的分布函数为

?0, x?0,F(x)?? ?5x?a?e,x?0, 则P{X?1}? e?5 .

三、（本题满分8分）

袋中标有不同号码的红、黑、黄球各2个，现随机从袋中有放回地抽取3次，每次取1个，求下列事件的概率： (1) A={三次未抽到红球}； (2) B={颜色不全相同}.

4?4?48解：P(A)? ------------4分 ?6?6?6273?238P(B)?1?3?------------8分

69

四、（本题满分8分）

已知甲、乙两箱装有同种产品，甲箱装有10只，其中有6只一等品；乙箱装有6只，其中有3只一等品，今从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次，每次取一只，求:

(1) 第一次取到的是一等品的概率；

(2) 在第一次取到一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率. 解：（1）设Bi表示“第i次取到一等品”（i?1,2），A表示“从甲箱中抽取产品”， ，则 A表示“从乙箱中抽取产品”

1163P(A)?，P(A)?，P(B1|A)?,P(B1|A)?， --------2分

22106

由全概率公式

1613P(B1)?P(A)P(B1|A)?P(A)P(B1|A)?????0.55. ---------4分

21026P(B1B2)（2） P(B2/B1)?

P(B1)165132?????2109265?16?0.485---------8分 ?0.5533

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五、（本题满分10分） 已知随机变量X的分布律为 ?2 X pk 0.4 求:(1)X的分布函数F(x)； (2)Y?X2?1的分布律.

0 0.1 1 0.1 2 0.4 ?0,?0.4??解：（1）X的分布函数F(x)??0.5,?0.6,???1,(2)Y?X2?1的分布律为

x??2?2?x?00?x?1-----------5分 1?x?2x?23 0 ?1 0.1 0.1 0.8 -----------10分

Y pk 六、（本题满分10分）

设某种电子产品的使用寿命X的概率密度为

?3e?3(x??), x??,f(x,?)??

?0, x??,其中??0为未知参数，又设 是来自X的一组样本观察值，求参数?的最大似然估计值. 解：似然函数为

n??3?(x??)?3nei?1i, xi??(i?1,2,?,n),-----------4分 ??? 其它. ?0, 当 时，L(?)?0，取对数得

lnL(?)?nln3?3?(xi??)i?1n-----------6分

因为

dlnL(?)?3n?0，所以L(?)单调增加， -----------8分 d?由于?须满足

故当?取 中的最小值时，L(?)取最大值，

.-----------10分 所以?的最大似然估计值为

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