内容发布更新时间 : 2024/11/17 20:37:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.

(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.

x?1

(3)与两直线 y??1?t及x?1y?2z1?1??11都平行且过原点的平面方程为_____________.

z?2?t (4)设L为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分

??(2xy?2y)dx?(x2L?4x)dy= _____________.

(5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量β?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

求正的常数a与b,使等式lim1xt2x?0bx?sinx?0a?t2dt?1成立.

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u?v?x,?x.

?301?(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A???110?,求?014????矩阵B.

四、(本题满分8分)

求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设limf(x)?f(a))2??1,则在x?a处

x?a(x?a(A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (B)f(x)取得极大

值

(C)f(x)取得极小值 (D)f(x)的导数不

存在

s(2)设f(x)为已知连续函数,I?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则I的值

(A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x(C)依赖于t、x,不依赖于s

(D)依赖于s,不依赖

于t

??(3)设常数k?0,则级数(?1)nk?nn2 n?1(A)发散 (B)绝对收敛

(C)条件收敛

(D)散敛性与k的取

值有关

(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于

(A)a (B)

1a (C)an?1

(D)an

六、（本题满分10分） 求幂级数??1xn?1的收敛域，并求其和函数. n?1n?2n

七、（本题满分10分） 求曲面积分

I???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,

?其中?是由曲线f(x)????z?y?1 1?y?3?绕?x?0y轴旋转一周而成的曲

面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?2.

八、（本题满分10分）

上)

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得

f(x)?x.

九、（本题满分8分） 问a,b为何值时,现线性方程组

x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x

2?(a?3)x3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线

(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.

(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)?1x2?2x?1?e?,则X的数学期望为____________,X的方差为____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为

f10?x?1e?yX(x)? 0

其它,f? 0 y?0Y(y)y?0, 求Z?2X?Y的概率密度函数.