内容发布更新时间 : 2024/12/22 23:28:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

利用两个重要极限求解的几点看法

在高等数学中，我们经常会碰到下列问题，即在求极限时往往会遇到两个无穷小量之比、两个无穷大量之比和其他不定式求极限的问题，而求这些形式极限时的一个重要求法就是正确利用两个重要极限，本文就此提出一些看法.

一、正确掌握两个重要极限的标准形式是正确使用两个重要极限的关键

两个重要极限的标准形式是：limx→0sinxx=1，limx→∞1+1xx=e.这里我们必须抓住自变量的变化趋势和函数表达式中自变量x的结构形式. 例1求下列函数的极限：

（1）limx→0sinx3x；（2）limx→∞1+1x3x. 在教学中经常发现学生往往会出现下列结果：（1）limx→0sinx3x=1，（2）limx→∞1+1x3x=e.这显然是错误的，（1）中错误的原因主要在于错误地认为一个无穷小量的正弦函数与任一无穷小量之比的极限均为1，（2）中错误的原因在于错误地认为1与一个无穷小量之和的无穷大次幂的极限均为e.事实上，

（1）limx→0sinx3x=13limx→0sinxx=13，（2）limx→∞1+1x3x=limx→∞1+1xx3=e3.

对于两个重要极限表达式中的“x”在结构形式上应该是表

示同一个量，否则就会发生上述错误. 例2求下列函数的极限：

（1）limx→∞sinxx；（2）limx→∞1+1xn（n为已知常数）. 学生中常见的错误是：（1）limx→∞sinxx=1，（2）limx→∞1+1xn=e.导致这些错误的原因为：（1）中错误主要是没抓住自变量的变化过程，只看函数表达形式；（2）中的错误主要是函数表达式中忽略了n为已知常数的条件，把n错误地理解为变量x.

事实上，（1）sinx≤1，limx→∞1x=0，根据无穷小量乘有界变量仍为无穷小量，所以limx→∞sinxx=0；（2）limx→∞1+1xn=1，这是因为n是常数，且limx→∞1x=0. 由此可知，在使用两个重要极限时，必须注意函数的标准形式，又必须注意自变量的变化趋势.

二、在利用两个重要极限求极限时，在抓住两个重要极限特征的同时，还要善于掌握它们的变形

对于limx→0sinxx=1可变形为limg（x）→0sin（g（x））g（x）=1，也可变形为limx→∞xsin1x=1.

对于limx→∞1+1xx=e可变形为limg（x）→∞1+1g（x）g（x）=e，也可变形为limx→0（1+x）1x=e. 例3求下列函数的极限：

（1）limx→01-cosx2x2；（2）limx→∞xln1+1x. 解（1）原式

=limx2→02sin2x28x22=14limx2→0sin2x2x22=14.（2）原式=limx→∞ln1+1xx=lnlimx→∞1+1xx=lne=1.

从这里我们可以看到在使用重要极限时，可以通过代数的或三角的变换使所求的极限化成两个重要极限的形式进行求解. 例4求下列函数的极限：

（1）limx→π2cosxπ2-x；（2）limx→0x1-3x. 解（1）原式=limπ2-x→0sinπ2-xπ2-x=1.（2）原式=limx→0（1-3x）1x=limx→0[（1-3x）1-3x]-3=e-3. 三、在利用两个重要极限时，经常使用变量代换，以使简化成两个重要极限的标准形式 例5求下列函数极限：

（1）limx→0sin（sinx）sinx；（2）limx→0（1+tanx）cotx.

解（1）令sinx=t，则原式=limt→0sintt=1. （2）令tanx=t，则原式=limt→0（1+t）1t=e. 总之，在利用两个重要极限求解极限时，我们必须善于观察和分析所求极限函数形式的特点和自变量的变化趋势，采用适当的方法化成两个重要极限的标准形式. 【