内容发布更新时间 : 2024/9/20 9:29:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《一元微积分》期末复习提纲

一、 高阶导数，包括简单有n阶导数；

求导思路：逐次求导法 例：（1）?xex???x?n?ex； （2）??ln?1?x???1? （3）????x?1??n??n??n?n?1?!?； ???1?n?1?x?n?1???1?nn!?x?1?n?1；

?????n?? （4）?sinx??n??sin?；x?n?cosx?cosx?n???????

?2??2?

例题：P110例1?6、P119A:1,2

二、 曲线的凹凸性及拐点；

凹凸性与拐点的判别步骤： （1） 求出一、二阶导数y?和y??；

（2） 令y???0，解出y???0的点与y??不存在的点x0； （3） 利用（2）解出的点划分函数的定义域； （4） 画表分析、判别；

（5） 代入原函数式求出拐点的纵坐标，并写出结论。 例题：P113例8?11、P119A:4?6

三、 相关变化率

利用复合函数的求导法则：解题步骤：

（1） 利用题设条件，写出函数关系式y?f?x?或F?x,y??0；

dydydx??， dtdxdt（2） 求出

dy； dxdydxdydydx（3） 利用已知条件求出变化率：??或?dt。

dtdxdtdtdydx例题：P132例1?2、P134A:4?5

四、 微分的计算；

微分的计算公式：dy?y?dx或df?x??f??x?dx。 例题：P138例2?3,P141A4

五、 微分在近似计算中的应用；

微分的近似计算公式：

由dyx?x?f??x0??x一阶近似计算公式得：

0（1）?y?f?x0??x??f?x0??f??x0??x； （2）f?x0??x??f?x0??f??x0??x。

特别地，当x0?0,?x?x时，则有f?x??f?0??f??0?x。 例题：P140例6?8,P141A6

六、 隐函数求导；

求解步骤：

（1） 对方程F?x,y??0两边同时求导

（2） 由求导后的方程解出y?，并按题目要求写出结论。

或由原隐函数方程解出y0?yx?x，将?x0,y0?代入求导后的方

0程，解出

dydx

x?x0例题：P126例1?4、P131A1?4、P1585,6。

七、 参数方程求导；

求导法则：如果x,y间的函数关系由参数方程

??x???t????y???t????t???，

来确定，则由参数方程确定的函数的一阶导数公式为

dydydt?dxdxdt或dy???t?。 ?dx???t?二阶导数公式为：

d?dy??d2yd?dy?dt?dt??????dxdx2dx?dx?dt。

例题：P130例7?10、P106A5?7、P1587,8。

八、 中值定理（定理内容）；

共性条件：函数在闭区间上连续，在开区间内可导； 个性条件：罗尔定理要求区间端点的函数值相等； 拉格朗日中值定理的两个推论：

推论1、若y?f?x?在区间I上恒有f??x??0，则f?x?在I上是一个常数，即f?x??C。

推论2、若y?f?x?,y?g?x?在区间I上恒有f??x??g??x?，则

f?x?,g?x?在I上仅相差一个常数，即f?x??g?x??C。

九、 洛必达法则

f?x?f??x?0?1、“”与“”标准型：lim； ?lim0?g?x?g??x?2、“0??”型可先利用“无穷大与无穷小的关系”变形为“”或

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