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课时提升作业 八

反证法与放缩法

一、选择题(每小题6分,共18分)

1.(2016·泰安高二检测)证明命题“a,b∈N,如果ab可被5整除,那么a,b至少有一个能被5整除”,则假设的内容是 ( ) A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除 C.a不能被5整除 D.a,b有一个不能被5整除

【解析】选B.“a,b至少有一个能被5整除”包括“a,b中有且只有一个能被5整除或a,b都能被5整除”,其反面为“a,b都不能被5整除”.

【补偿训练】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,反设正确的是( )

A.三个内角中至少有一个钝角 B.三个内角中至少有两个钝角 C.三个内角都不是钝角

D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角

【解析】选B.“至多有一个”即要么一个都没有,要么有一个,故反设为“至少

有两个”.

2.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法求证a>0,b>0,c>0时的假设为

( )

A.a<0,b<0,c<0 B.a≤0,b>0,c>0 C.a,b,c不全是正数 D.abc<0

【解析】选C.a>0,b>0,c>0的反面是a,b,c不全是正数. 3.已知a>0,b>0,设P=

+

,Q=

,则P与Q的大小关系是 ( )

A.P>Q B.P0,b>0,所以P=

+

>

+

=

=Q,所以P>Q.

【补偿训练】已知等比数列{an}的各项均为正数,公比q≠1,设P=

,Q=

,则P与Q的大小关系是 ( )

A.P>Q B.P

,且a3>0,a3≠a9, >

=

,故P>Q.

=

,

二、填空题(每小题6分,共12分)

4.(2016·泰安高二检测)用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形的内角和为180°矛盾,故结论错误;

②所以一个三角形不可能有两个直角;

③假设△ABC有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°;

上述步骤的正确顺序是____________.

【解析】由反证法的证题步骤可知,正确顺序应该是③①②. 答案:③①② 5.已知a∈R+,则【解析】因为+所以2所以答案:

>><<+>>++<2. ,

,>

+=2,

从大到小的顺序为________. =2

, ,

【补偿训练】log23与log34的大小关系是________. 【解析】log23-log34=>=>

=0,

-=

所以log23-log34>0,所以log23>log34. 答案:log23>log34

三、解答题(每小题10分,共30分) 6.已知a>0,b>0,且a+b>2.求证:【证明】假设则

≥2,

,

都不小于2,

,

中至少有一个小于2.

≥2.

因为a>0,b>0,