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Gauss整数环的主理想及其商环研究

摘要:本文给出了Gauss整数环的若干性质,并用一种新的初等方法解决了文献[1]中提出的一个猜想: Gauss整数环的商环

Z[i]元素个数是m2?n2.

(n?mi)关键词:Gauss整数环;商环;素元;主理想;单位

Research the Principal Ideal and Quotient Ring of

Gaussian Integral Domain

Wang xiao-juan

(Department of Mathematics,Xiaogan University 031114328)

Abstract:This paper gives some proterties of Gaussian integral domain, and proves the two conjectuires of Arch.[1] with a new and elementary method. In light of the Gaussian integral domain,the number of elements of its ring of quotients is m2?n2. Key words: Gaussian integral domain; quotient ring; prime element; principal ideal;unit.

1 介绍

在文献[1]中,提出两个猜想 :(1) Gauss整数环的商环

m2?n2;(2) 对于

Z[i]元素个数是

(n?mi)Z[i],显然1?i,2?i为素元,问n?i形式的素元是否为无穷多.(n?i)文献[1]证明了:对m?0 (或n?0)以及m?1但n任意(或n?1但m任意)的情形有

Z[i]Z[i]22的元素个数恰为m?n.近期有关Gauss整数环的商环所含

(n?mi)(n?mi)Z[i](n?mi)元素的个数, 文献[1?2]都讨论了这个问题,并得到了很好的结果,即︱

22︱=m?n其中(n?mi)表示由n?mi所生成的主理想.本文以一种新的初等的方

法明确了

Z[i]22的元素个数就是m?n,为了解决上述两个猜想,首先给出

(n?mi)Gauss整数环的一些相关定义. 我们用X表示集合X的元素个数，n?mi的范数

用N(n?mi)?m2?n2来表示，?表示Gauss整数环中的元素?的共轭.

下面给出Gauss整数环的一些相关定义：

设Z表示整数环，i表示虚数单位，则高斯整数环Z[i]是指一切形如a?bi (a,b?Z,i2??1)的复数关于数的普通加法与乘法作成的环, 高斯整数环中的元素称为高斯整数.因此我们有以下定义：

定义1 设Z表示整数环,则环Z[i]?{a?bi|?a,b?Z}称为Gauss整数环. 定义2 若环R的非空子集I满足下面条件: （1）I是一个子加群；

（2） 对任意a?I, r?R,元素ar,ra都在I中. 此时我们称I是环R的一个理想.

定义3 我们称环(R/I,+,.)为环R关于理想I的商环,其中

R/I,={a? I,a?R}

(a?I)+(b?I)=(a?b)?I

(a?I).(b+I)=ab?I

定义4 设H?(n?mi)?{(x?yi)(n?mi)|?x,y?Z}为Z[i]的一个主理想.

2 性质

Gauss整数环有下列显然的基本性质: 命题1 Z[i]的单位(可逆元)是1,?1,i,?i.

证明 设x?yi?Z[i]， x?yi可逆，其逆元为a?bi?Z[i]，则

(x?yi)(a?bi)?1

两边取模并平方，得到

(x2?y2)(a2?b2)?1

由于(x2?y2)?Z，(a2?b2)?Z，故x2?y2?1，于是

?x?1?x??1?x?0?x?0，或，或，或 ?????y?0?y?1?y??1?y?0即Z[i]的单位(可逆元)是1,?1,i,?i.

命题2 Z[i]是欧氏环,因而是主理想环和唯一分解环

证明 见文献[3]中.

命题3[4] Z[i]中的素元当且仅当是不可约元。

证明 设?为Z[i]中的不可约元，并有???（?,??Z[i]），由命题2知：

???Z[i]，使得(?,?)?(?)令???1?,???2?,?1,?2?Z[i],因为?是Z[i]的不可

约元，故?1,?中必有一个是单位。

?1?1?????,??(??)?即?? 1121若是单位，则

若?是单位，由(?)?(?,?)故可设

???3???4?,?3,?4?Z[i]，于是1???1?2????1?4?则????1?2?????1?4??，由

于?|??及?|??，所以?|?,因此?是Z[i]中的素元。

反之，设?是z[i]的素元，若????,则有?|?或?|?,不妨设?|?，可设

??????Z[i],故?????(??)?，由Z[i]是无零因子环，所以有???1，即得?是单位，故?是不可约的。

命题4[4] 设??Z[i]，如果N(?)是z中的素数，则?是Z[i]的素元；若?是Z[i]中的素元则?也是Z[i]中的素元。

22证明 设??a?bi?Z[i],由N(?)?a?b是Z[i]中的素数，若?是Z[i]

中的可约元，可设???1??2,?1,?2均不是Z[i]中的单位，由

N(?)?N(?1)N(?2),N(?1),N(?2)均不为1，与N(?)是Z[i]中的素数矛盾，所以

?是Z[i]中的不可约元， 由命题3知?是z[i]中的素元。

设??b1?b2i?b1?b2i?(c1?c2i)(d1?d2i)，则

????(c1?c2i)(d1?d2i)?(c1?c2i)(d1?d2i)

由?可约可知?可约，因此?是Z[i]中的素元，则?也是。

命题5[4] 设?是Z[i]中的素数且p?1(mod4),当且仅当P中Z[i]中的可约元。

由文献[5]p54?55中的高斯平方和定理即知命题5成立。

3 商环