内容发布更新时间 : 2024/12/29 0:14:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

基本不等式（导学案） 预 习 案

一、预习内容

如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会上作为会标。你知道这其中含有哪些相等关系或不等关系吗？

设小直角三角形的两条直角边为a、b（a?b）， 则正方形的边长为 ，正方形的面积

为 。四个直角三角形的面积和为 。

4?S三角形?S正方形? < 。

思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是 ,

(4?S三角形?S正方形) ? 。

教学案

一、学习目标

（1）学会推导不等式ab?a?b2，理解基本不等式的几何意义。 （2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用基本不等式求一些简单的最值问题

二、学习难点

理解“当且仅当a?b时取等号” 的意义。 三、学生学习活动过程

1．学生预习成果展示

概念: 一般的,对于任意的实数a,b,我们有 ，当且仅当 时,等号成立. 特别的,如果a?0,b?0 ,我们用a、b分别代替a,b,可得 。我们通

常把上式写成ab?a?b2(a?0,b?0) 第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢?

证明过程: 要证 a?b2?ab ①

只需证 ? ② (同时平方)

要证②只需证 ?0 ③ (右边的项移到左侧)

要证③只需证 (_____?_____)2?0 ④ 显然④成立.当且仅当a?b时,等号成立.

2．小组合作学习-研讨

概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b, 且a?0,b?0,

a?b是a,b的 ，叫做a,b的算术平均数， 2ab是叫做a,b的 ，叫做a,b的几何平均数，

由基本不等式可得：a,b的等差中项 a,b的等比中项 ，

特别的，当a?b时，a,b的等差中项等于a,b的等比中项。

3. 当堂训练

1? aab 若ab?0，则?? ba习题二：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？

设菜园的长为x，宽为y，则xy? ，篱笆的总长度表示为 ，

习题一：若a?0，则a? 由

a?b?ab 可得x?y? ， 2当等号成立时，所用篱笆最短，此时x?___,y?___.

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？

设菜园的长为x，宽为y，则x?y? ，篱笆的面积表示为 ，

a?b?ab可得xy? ， 2当等号成立时，面积最大，此时x?_____,y?_____.

总结：两个实数a?0,b?0,

若它们的积为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a?b成立。 若它们的和为定值，则它们的和有最 值，当且仅当a?b成立。

由

巩 固 案

一、练习：1 直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？

设两边分别为x,y。则xy?_______ x?y

2 用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？

3 把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

4 把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？荆轲，一个四处为家的刺客，他的心犹如浮云，心如飘蓬，是没有根的，然而高渐离的筑声，却成了他愿意停留在燕国这片土地上的原由。

虽是初见，却如故人。也许所有的遇见，早已经是前世的注定，没有早晚，刚好在合适的时间遇见你，就是最美的相识。 他曾经游历过多少地方，自己已经数不清，但是没有一处可以挽留他行走的脚步，唯有今日高渐离的筑声，让他怎么也舍不得离开。 从此二人心性相投，在燕国集市上，载歌击筑，把盏言欢，欢喜处。嬉笑开颜，忧伤处，潸然泪下，即便这些神经质的状态，被集市上的人哗然，可是对知己而言，又如何呢？ 人生难得一知己，悲欢喜悦与何人相干呢？我们各自欢喜就好。生为乱世，能够遇到如此懂得自己的人，是一件多么难得的幸福事情啊！ 然而，这快意的知己日子，总归逃不过那个时代的残酷，千不该，万不该，荆轲不该是一位刺客，若不如此，又如何会被愚蠢的太子丹派去刺杀秦王，一去不复返。 倘若荆轲不是刺客，也就更不可能身如飘蓬，居无定所，也许不可能遇见高渐离，所有一切都是冥冥之中的注定吧！ “风萧萧兮，易水寒，壮士一去兮，不复还。”知己的离去，让高渐离心如刀割，整日独自击筑高歌，在痛苦中浑噩度日，这样疏懒的生活，无人懂他，对他来说已经倦怠了，他厌倦了这种孤独和苟且的日子。 他本可以大隐于野，疏远于喧嚣处，可是他同样选择了一条不归路。去咸阳宫为上宾演奏，最终被人认出，他并不害怕，倒是坦然自若。因为他心里清楚这里就是染过他知己——荆轲的鲜血的宫殿，若能在这里死去，也算是一种缘分。 然而事与愿违，秦王并没杀了他，给他一个痛快，而是熏瞎了他的双目，让他生不如死。在一次次的心伤中，他在筑中灌满了铅，仿效荆轲，想与秦王同归于尽，只是他心里非常清楚，他根本伤及不了秦王毫发。 他之所以如此，以卵击石，无非就是想痛快死去，是一种求死的方式罢了。千百年以后，后人深记那易水的水有多寒冷，那易水的风有多刺骨。那句“风萧萧兮，易水寒，壮士一去兮，不复还”里融入了多少痛苦和无奈？ 几千年之后，易水的水，易水的风，易水的雪，一年复一年，而那个凄美的故事，也这样经久不衰的传颂着。 不由让我又想起伯牙绝弦的故事来，因为知己子期的离世，伯牙绝弦谢知音。 人世间有一种高山流水的知己，叫伯牙和子期，也有一种侠义知己，叫荆轲与高渐离。古语曰：“士为知己者死。”这可能是世间最高的知己情意了吧！ 人生漫漫，朋友易得，知己难求。 知己情，是我们需要用生命去珍惜和呵护的情意。然而这个时代，情意似乎越来越廉价，从深交到陌生。若你遇到知己情，别忘了好好珍惜。