内容发布更新时间 : 2024/9/12 22:28:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
基本不等式(导学案) 预 习 案
一、预习内容
如图所示,这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会上作为会标。你知道这其中含有哪些相等关系或不等关系吗?
设小直角三角形的两条直角边为a、b(a?b), 则正方形的边长为 ,正方形的面积
为 。四个直角三角形的面积和为 。
4?S三角形?S正方形? < 。
思考:当中间的小正方形面积为0的时候,此时直角三角形是 ,
(4?S三角形?S正方形) ? 。
教学案
一、学习目标
(1)学会推导不等式ab?a?b2,理解基本不等式的几何意义。 (2)知道算术平均数、几何平均数的概念 (3)会用基本不等式求一些简单的最值问题
二、学习难点
理解“当且仅当a?b时取等号” 的意义。 三、学生学习活动过程
1.学生预习成果展示
概念: 一般的,对于任意的实数a,b,我们有 ,当且仅当 时,等号成立. 特别的,如果a?0,b?0 ,我们用a、b分别代替a,b,可得 。我们通
常把上式写成ab?a?b2(a?0,b?0) 第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢?
证明过程: 要证 a?b2?ab ①
只需证 ? ② (同时平方)
要证②只需证 ?0 ③ (右边的项移到左侧)
要证③只需证 (_____?_____)2?0 ④ 显然④成立.当且仅当a?b时,等号成立.
2.小组合作学习-研讨
概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b, 且a?0,b?0,
a?b是a,b的 ,叫做a,b的算术平均数, 2ab是叫做a,b的 ,叫做a,b的几何平均数,
由基本不等式可得:a,b的等差中项 a,b的等比中项 ,
特别的,当a?b时,a,b的等差中项等于a,b的等比中项。
3. 当堂训练
1? aab 若ab?0,则?? ba习题二:(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短?
设菜园的长为x,宽为y,则xy? ,篱笆的总长度表示为 ,
习题一:若a?0,则a? 由
a?b?ab 可得x?y? , 2当等号成立时,所用篱笆最短,此时x?___,y?___.
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长和宽各是多少面积最大?
设菜园的长为x,宽为y,则x?y? ,篱笆的面积表示为 ,
a?b?ab可得xy? , 2当等号成立时,面积最大,此时x?_____,y?_____.
总结:两个实数a?0,b?0,
若它们的积为定值,则它们的和有最 值,当且仅当a?b成立。 若它们的和为定值,则它们的和有最 值,当且仅当a?b成立。
由
巩 固 案
一、练习:1 直角三角形的面积为50,两条直角边各为多少时,两直角边的和最小?最小值为多少?
设两边分别为x,y。则xy?_______ x?y
2 用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?
3 把36写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小?
4 把18写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?荆轲,一个四处为家的刺客,他的心犹如浮云,心如飘蓬,是没有根的,然而高渐离的筑声,却成了他愿意停留在燕国这片土地上的原由。
虽是初见,却如故人。也许所有的遇见,早已经是前世的注定,没有早晚,刚好在合适的时间遇见你,就是最美的相识。 他曾经游历过多少地方,自己已经数不清,但是没有一处可以挽留他行走的脚步,唯有今日高渐离的筑声,让他怎么也舍不得离开。 从此二人心性相投,在燕国集市上,载歌击筑,把盏言欢,欢喜处。嬉笑开颜,忧伤处,潸然泪下,即便这些神经质的状态,被集市上的人哗然,可是对知己而言,又如何呢? 人生难得一知己,悲欢喜悦与何人相干呢?我们各自欢喜就好。生为乱世,能够遇到如此懂得自己的人,是一件多么难得的幸福事情啊! 然而,这快意的知己日子,总归逃不过那个时代的残酷,千不该,万不该,荆轲不该是一位刺客,若不如此,又如何会被愚蠢的太子丹派去刺杀秦王,一去不复返。 倘若荆轲不是刺客,也就更不可能身如飘蓬,居无定所,也许不可能遇见高渐离,所有一切都是冥冥之中的注定吧! “风萧萧兮,易水寒,壮士一去兮,不复还。”知己的离去,让高渐离心如刀割,整日独自击筑高歌,在痛苦中浑噩度日,这样疏懒的生活,无人懂他,对他来说已经倦怠了,他厌倦了这种孤独和苟且的日子。 他本可以大隐于野,疏远于喧嚣处,可是他同样选择了一条不归路。去咸阳宫为上宾演奏,最终被人认出,他并不害怕,倒是坦然自若。因为他心里清楚这里就是染过他知己——荆轲的鲜血的宫殿,若能在这里死去,也算是一种缘分。 然而事与愿违,秦王并没杀了他,给他一个痛快,而是熏瞎了他的双目,让他生不如死。在一次次的心伤中,他在筑中灌满了铅,仿效荆轲,想与秦王同归于尽,只是他心里非常清楚,他根本伤及不了秦王毫发。 他之所以如此,以卵击石,无非就是想痛快死去,是一种求死的方式罢了。千百年以后,后人深记那易水的水有多寒冷,那易水的风有多刺骨。那句“风萧萧兮,易水寒,壮士一去兮,不复还”里融入了多少痛苦和无奈? 几千年之后,易水的水,易水的风,易水的雪,一年复一年,而那个凄美的故事,也这样经久不衰的传颂着。 不由让我又想起伯牙绝弦的故事来,因为知己子期的离世,伯牙绝弦谢知音。 人世间有一种高山流水的知己,叫伯牙和子期,也有一种侠义知己,叫荆轲与高渐离。古语曰:“士为知己者死。”这可能是世间最高的知己情意了吧! 人生漫漫,朋友易得,知己难求。 知己情,是我们需要用生命去珍惜和呵护的情意。然而这个时代,情意似乎越来越廉价,从深交到陌生。若你遇到知己情,别忘了好好珍惜。