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对称性在曲线积分计算中的应用

作者：左俊梅 何奇龙

来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2014年第07期

摘要：在积分计算中，运用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性以及轮换对称性可以简化计算。本文总结了对称性在曲线积分计算中的应用。 关键词：对称性；曲线积分；积分计算

中图分类号：O172.2 文献标识码：A 文章编号：1671—1580（2014）07—0151—02 1对称性在第一型曲线积分计算中的应用

本文只讨论平面曲线，对于空间曲线有类似的结论。

定理1[1]设平面分段光滑曲线L关于y轴（或x轴）对称，且f（x，y）在L上有定义、可积，则

（1）若f（x，y）为关于x（或y）的奇函数，则∫Lf（x，y）ds=0；

（2）若f（x，y）为关于x（或y）的偶函数，则∫Lf（x，y）ds=2∫L1f（x，y）ds. 其中L1=（x，y）∈L|x≥0（或y≥0）. 由定理1可得如下推论：

推论1设平面分段光滑曲线L关于x轴对称且关于y轴对称，且f（x，y）在L上有定义、可积，则

（1） 若f（x，y）关于x，y均为偶函数，则∫Lf（x，y）ds=4∫L1f（x，y）ds， 其中L1=（x，y）∈L|x≥0，y≥0.

（2）若f（x，y）关于x或y为奇函数，即f（x，-y）=-f（x，y）或f（-x，y）=-f（x，y），（x，y）∈L，则∫Lf（x，y）ds=0.

例1 设L是圆周x2+y2=R2，求I=∫L（x2+y3）ds. 解I=∫Lx2ds+∫Ly3ds.

由于L关于x轴对称，且y3是关于变量y的奇函数，则由定理3.1.1知

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∫Ly3ds=0，

由于L既关于x轴对称，又关于y轴对称，且x2是关于变量x及y的偶函数，则由推论3知

∫Lx2ds=4∫L1x2ds，

其中L1为L在第一象限的部分。又由于 ∫L1x2ds=∫R0x21+（-xR2-x2）2dx =∫R0Rx2R2-x2dx=14πR3 故∫Lx2ds=4∫L1x2ds=πR3.

当曲线L关于原点对称时，我们可以得到如下的定理：

定理2设平面分段光滑曲线L关于原点对称，且f（x，y）在L上有定义、可积，则 （1）若f（-x，-y）=-f（x，y），（x，y）∈L，则∫Lf（x，y）ds=0；

（2）若f（-x，-y）=f（x，y），（x，y）∈L，则∫Lf（x，y）ds=2∫L1f（x，y）ds. 其中L1为L的上半平面或右半平面。

例2L为椭圆x24+y23=1，其周长为a，计算积分∫L（3x2+4y2+5xy2）ds. 解∫L（3x2+4y2+5xy2）ds=∫L（3x2+4y2）ds+∫L5xy2ds=12a+∫L5xy2ds， 由于L关于原点对称，且5·（-x）·（-y）2=-5xy2，则由定理2知 ∫L5xy2ds=0，其中L1为L的右半部分。 综上可得∫L（3x2+4y2+5xy）ds=12a+0=12a. 关于曲线的轮换对称性，我们有如下结论：

定理3设平面分段光滑曲线L关于x，y具有轮换对称性，且f（x，y）在L上有定义、可积，则∫Lf（x，y）ds=∫Lf（y，x）ds.

例3计算第一型曲线积分∫Lz2ds，其中L为球面x2+y2+z2=a2被平面x+y+z=0所截得的圆周。

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解由于L关于x，y，z具有轮换对称性，则由定理3知 ∫Lz2ds=∫Ly2ds=∫Lx2ds，

则∫Lz2ds=13[∫Lx2ds+∫Ly2ds+∫Lz2ds]=13∫L（x2+y2+z2）ds=a23∫Lds=23πa3. 2对称性在第二型曲线积分计算中的应用

根据第二型曲线积分的定义及物理背景，我们分析得到对称性在第二型曲线积分中的结论与对称性在以上讨论的几类积分中的结论是不同的，这是因为第二型曲线积分的物理背景是变力做功，它与曲线的方向有关，经过分析我们得到下面的定理。

定理4设L为平面上分段光滑的定向曲线，P（x，y），Q（x，y）为定义在L上的连续函数；

（1） 当L关于x轴对称时：

①若P（x，y）是关于y的偶函数，则∫LP（x，y）dx=0；

若P（x，y）是关于y的奇函数，则∫LP（x，y）dx=2∫L1P（x，y）dx， ②若Q（x，y）是关于y的奇函数，则∫LQ（x，y）dy=0；

若Q（x，y）是关于y的偶函数，则∫LQ（x，y）dy=2∫L1Q（x，y）dy； 其中L1是L位于x轴上方的部分。 （2）当L关于y轴对称时：

①若P（x，y）是关于x的奇函数，则∫LP（x，y）dx=0；

若P（x，y）是关于x的偶函数，则∫LP（x，y）dx=2∫L1P（x，y）dx； ②若Q（x，y）是关于x的偶函数，则∫LQ（x，y）dy=0；

若Q（x，y）是关于x的奇函数，则∫LQ（x，y）dy=2∫L1Q（x，y）dy； 其中L1是L位于y轴右方的部分。 （3） 当L关于原点对称时：

①若P（x，y），Q（x，y）关于（x，y）为偶函数，即P（-x，-y）=P（x，y）