内容发布更新时间 : 2025/1/31 20:48:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
武汉理工大学有限元分析基础教案
?F2?4??K22?4??2?4??K23?4??3?4??K25?4??5?5 ?F3?4??K32?4??2?4??K33?4??3?4??K35?4??5?4 ?F5?4??K52?4??2?4??K53?4??3?4??K55?4??5?4
实际上，刚度方程可以写成如下的一般形式：
?Fi????Kik???k? k表示单元的节点组成
k?i,j,m2，即各个节点力的合力等于节点载荷 首先我们运用规则○
e??F?i??Ri? e所以也就有：?F1???F1???R1?
12?F2?2??F2?4??R2?
?F3?1??F3?2??F3?4??F3?3??R3? ?F4?2??F4?3??R3? ?F5?3??F5?4??R5?
我们将上面得到的方程按这个规律相加：
?F1?1??F1?2??R1???K11?1??1?1??K12?1??2?1??K13?1??3?1
222222??K11???1???K13???3???K14???4?1，即对这个等式运用规则○
???????1ii2?????i????i?并整理有：
n?R1????K11?1??K11?2???1???K12?1??2????K13?1??K13?2???3???K14?2??4??R2???K21?1??1????K22?1??K22?4???2????K23?1??K23?4???3???K25?4??5??R3????K31?1??K31?2???1????K32?1??K32?4???2????K33?1??K33?2??K33?3??K33?4???3????K34?2??K34?3???4????K35?3??K35?4???5??R4???K41?2??1????K43?2??K43?3???3????K44?2??K44?3???4???K45?5??5??R5???K52?4??2????K53?3??K53?4???3???K54?4??4????K54?3??K55?4???5?4将上述的
这些方程写为矩阵的形式，就得到了该问题的总刚方程为：
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?R1???K11?1?2?R??1??K2?21?????1?2?R3???K31??R???K?2?4??41???R5???0?K12?1?K13?1?2?K14?2?K22?1?4?K23?1?40?K32?1?4?K33?1?2?3?4?K34?2?3?K43?2?3?K44?2?30?K52?4?K53?3?4?K54?3???1?????K25?4???2????K35?3?4???3? ??4??K45?3????3?4??K55?????5??0我们对这个总刚方程进行分析，可以得出以下的规律
3， 总刚矩阵的规律
总刚方程就是运用所有节点的位移向量和总刚矩阵相乘，得到结构的节点载荷，节点载荷向量（外界对弹性体作用的载荷）很容易求得，节点位移向量是未知量，关键就是总刚矩阵如何得出。如都按照上述的步骤，成千上万个节点，该如何作呢？所以有必要总结总刚度矩阵的规律。
1当r=s时，即子块矩阵[Krs]是总刚矩阵主对角线上的子块矩阵。由环绕节点r（s）各单元○
刚度矩阵的相应对角线子块相加。
2当r≠s时，但r、s是相邻单元的公共边上的节点时，子块矩阵[Krs]等于两相邻单元刚矩○
阵的相应子块矩阵相加。如上例中的[K13]、 [K31]等。
3当r≠s时，且r、s只是一个单元的边上节点时，子块矩阵[Krs]就等于该单元刚矩阵的相○
应子块矩阵。如上例中的[K12]、 [K21]等。
2当r≠s时，且r、s不属于一个单元的边上的节点时，子块矩阵[Krs]等于零。如上例中的○
[K15]、 [K51]等。
利用上述规律不仅可以检验总刚组集的正确与否，而且可以直接组集总刚矩阵（手工组集）。但这种方法不利于计算机编程。下面介绍计算机组集总刚矩阵的方法 4， 总刚矩阵组集的步骤
1扩大各单元刚度矩阵，使之成为与总刚矩阵相同的阶数。 ○
2按照总体节点的编号，将各单元刚度矩阵的各个子块移到相应的位置上。其余位置充零。○ 3把各个改造过的矩阵直接相加，就得到总刚矩阵。 ○
4为例讲解步骤○1、○2 我们以单元○
单元4的i、j、m=2、5、3，所以单元刚度方程是
??F2?4???K22?4??4?1??F??5???K25???F?4???K?4?3??32单刚矩阵
?K25?4?K23?4????2?4??4????K55?4?K52?4????5? ????4??K35?4?K33?4???3?44?K?4??K22??1???K25???K?4?324?K25??K23???K55?4?K52?4???K35?4?K33?4?????K22?4?4??K52???K?4?32?0?0??K25?4?K23?4?K55?4?K53?4?K35?4?K33?4000000??00?00??00?00???武汉理工大学教务处制 37
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?0?0??0??0??000?K22?4?K23?4?K32?4?K33?400?K52?4?K53?400000??K25?4??4 ?K35???0??K55?4??0二，总刚度矩阵的性质
总刚度矩阵由单元刚度矩阵组集而成，所以也具有单元刚度矩阵的一些性质，如相同的物理意义，位置无关性、对称性和奇异性等，还具有以下性质： 1） 稀疏性
由规律4知，当rs，且r、s不属于同一单元的两个节点是[Krs]=0，表明互不相关的节点数愈多，零子块矩阵就愈多。一般说来相关节点数不超过9，而整个分析对象常常成百上千、上万或几十万。如果整体有100个节点，那么百分之九是非零子块，而百分之九十多都是零子块。所以在总刚度矩阵中非零的子块是很稀少的。 2） 带状性
所谓带状性，就是指总刚矩阵中的非零子块，集中分布在主对角线的两侧，呈带状分布。 半带宽值就是计算这带状宽度的数值。它是以排列元素最长的一行，从第一个非零元素起至主对角线元素止，所有元素的个数。其数值可以由节点的总体编号算出。 B=（相邻节点号的最大差值+1）×（单个节点的自由度个数） 对于平面问题说来，就是：
B=（相邻节点号的最大差值+1）×2
下图中的两种编号方式，可以的分别计算其半带宽值： 图a，B=（2+1）×2=6 图b，B=（6+1）×2=14
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半带宽值影响计算机存取总刚矩阵所需的内存大小。愈小愈好。由于半带宽值是直接受节点总体编号的影响。所以我们在建立有限元模型时，应慎重考虑，采用优化的方法。（现在通常在程序中都配有这样的优化程序）。 三，总刚矩阵的压缩存取技术
由于总刚矩阵具有对称性，所以我们只需存入主对角线上半带或下半带的元素，就可以完成解方程的运算。此即为总刚矩阵的半带宽存储方法。 假定取主对角线上半带元素存储，具体做法就是每行元素以主对角线上的元素开始，存储每行半带宽数值的元素个数。如此各元素的行号不变，改变的只是列号。新列号和原列号的关系式如下：
新列号=原列号-行号+1
前面图示的例子，如果采用图示表示总刚矩阵的存储，就是： 如下图所示的情况。可以看出原总刚矩阵存储需要24×24的2维数组，改为半带宽存储后，
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就成为了24×6的数组了。 另有一维的压缩存储方法，比这种二维的半带宽存储方法压缩更多。在这儿我们就不做介绍了。有兴趣的同学可以看相关的参考书籍。
讲到这儿，实际我们已经知道，每个元素在总刚矩阵中的位置，在节点编号完成后，就完全确定下来了。所以计算机对总刚矩阵的计算，是一部完成的。即“边对号移置、边改列号、边累加”。
四，总体边界条件的处理
前面介绍总刚矩阵的性质时，说明了总刚矩阵是奇异矩阵。即?K??0。就是说总刚矩阵不存在逆矩阵。要求得节点位移的位移解，还必须引入边界条件。 1，边界条件的类型
1节点固定，即u?v?0 ○ij2给定节点位移值。即u?u，v?v ○jjii2， 处理方法 1置“0、1”法
即首先在总刚矩阵[K]中与已知位移分量相对应的行和列元素改为0，但主对角线上的元素改为1，然后在节点载荷向量的列阵中，与已知对应元素的位移用代替，其余元素减去已知位移分别乘[K]中相应元素。
??10?1??R?10?1，已知u1?c1、v2?c4，按照上面的方例：某结构的总刚方程为?K?10?10?法修改如下：
?1?0??0??0????0?0k22k320?k1020k23k330?k1030?001?00??u1??c1??v??Y?kc?kc??k210?211244???1??1k310???u2????X2?k31c1?k34c4????????
?0??v2??c4???????????????????k1010?vY?kc?kc??5??510111044??如果展开上式，马上就有u1?c1、v2?c4
第二行 k22v1?k23u2?k25u3???k210v5?Y1?k21c1?k24c4 移项 k21c1?k22v1?k23u2?k24c4?k25u3???k210v5?Y1
从中可以看出，这样处理后不仅可以直接得到u1?c1、v2?c4，而且它们产生的效果也计入到了其他方程中。
如果是固定位移情况，那么载荷向量中的变化是什么呢？（好好想想） 2乘大数法
在总刚矩阵[K]中，把与已知位移位移相对应的行与列主对角线上的元素乘一个很大的数
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