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三角函数与平面向量

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来源：《数学金刊·高考版》2013年第03期

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三角函数与平面向量交汇的试题屡见不鲜，颇为流行，呈现方式可大（解答题）可小（填空题和选择题）. 若是小题，一般难度不大，主要考查基本概念和基本公式，是送分题；若是大题，则对基本公式的理解记忆能力、变形能力、运算能力等提出了一定的要求. ■

解答三角函数与平面向量交汇的试题时，一定要熟悉向量的数量积的定义和性质，合理选用向量数量积的运算法则构建相关等式，然后运用与此相关的三角函数知识点进行解题，并要注意方程思想的运用. ■

■ 已知向量a=（cosωx-sinωx，sinωx），b=（-cosωx-sinωx，2■·cosωx），设函数f（x）=a·b+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈■，1. （1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若已知y=f（x）的图象经过点■，0，求函数f（x）在区间0，■上的取值范围. 破解思路 先通过向量数量积的坐标运算，整理、化简成单一三角函数表达式f（x）=2sin2ωx-■+λ. 然后代入对称轴方程x=π，求出ω；再根据三角函数y=Asin（ωx+φ）+B的周期公式T=■求解第（1）问. 对于第（2）问，代入点■，0求出λ，得到三角函数表达式y=2sin■x-■-■，再根据x的取值范围求出函数f（x）的取值范围.

经典答案 （1）由已知得f（x）=sin2ωx-cos2ωx+2■sinωx·cosωx+λ=-cos2ωx+■sin2ωx+λ=2sin2ωx-■+λ.

由直线x=π是y=f（x）图象的一条对称轴，可得sin2ωx-■=±1，所以2ωπ-■=kπ+■（k∈Z），即ω=■+■（k∈Z）. 又ω∈■，1，k∈Z，所以k=1，故ω=■. 所以f（x）的最小正周期是■.

（2）由y=f（x）的图象过点■，0，得f■=0，即λ=-2sin■×■-■= -2sin■=-■，即λ=-■. 故f（x）=2sin■x-■-■，由0≤x≤■，有-■≤■x-■≤■，所以 -■≤sin■x-■≤1，得-1-■≤2sin■x-■-■≤2-■，故函数f（x）在0，■上的取值范围为[-1-■，2-■].

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■ 在△ABC中，已知■·■=3■·■. （1）求证：tanB=3tanA； （2）若cosC=■，求A的值.

破解思路 （1）先通过向量数量积的符号运算，将■·■=3■·■化成AB·AC·cosA=3BA·BC·cosB，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明.

（2）由cosC=■，可求tanC，由三角形的三角关系，得到tan[π-（A+B）]，从而根据两角和的正切公式和第（1）问的结论即可求得A的值.

经典答案 （1）因为■·■=3■·■，所以AB·AC·cosA=3BA·BC·cosB，即AC·cosA=3BC·cosB. 由正弦定理，得■=■，所以sinB·cosA=3sinA·cosB. 又00，cosB>0. 所以■=3·■，即tanB=3tanA. （2）因为cosC=■，00，所以tanA=1，所以A=■. ■

1. 已知在锐角三角形ABC中，三个内角为A，B，C，两向量p=（2-2sinA，cosA+sinA），q=（sinA-cosA，1+sinA），若p与q是共线向量，则角A的大小为______. 2. 已知向量a=cos■x，sin■x，b=cos■，-sin■，x∈0，■. （1）用x的式子表示：a·b及a+b； （2）求函数f（x）=a·b-4a+b的值域.