内容发布更新时间 : 2024/5/3 11:51:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
习 题 四
1． 验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域R上的线性空间：
（1）实数域R上的全体n阶对称（反对称）矩阵，对矩阵的加法和数量乘法；
（2）平面上不平行于某一向量的全体向量所组成的集合，对向量的加法和数量乘法； （3）实数域R上次数等于n(n?1)的多项式全体，对多项式的加法和数量乘法； （4）全体实数对{(a,b)|a,b?R}，对于如下定义的加法?和数量乘法?： (a1,b1)?(a2,b2)?(a1?a2,b1?b2?a1a2)， k?(a1,b1)?(ka1,kb1??k(k?1)2a1)； 2（5）设R表示全体正实数，加法?和数量乘法?定义为：
a?b?ab，
k?a?ak
其中a,b?R，k?R；
2．设V是数域P上的线性空间，证明： （1） 0?=0， k0?0, (?1)????； （2） k(???)?k??k? 。 3．试证：在R2?2?中矩阵
， ?3?? ?4?? ?1???， ?2??????10??11??01??11?线性无关。
4．设V为数域P上的线性空间，如果V中向量组?1,?2,?,?r可由向量组
?11??11??11??10??1,?2,?,?s线性表示，证明：rank{?1,?2,?,?r}?rank{?1,?2,?,?s} 。
5． 线性空间的维数与一组基： （1）Rn?n中全体对称（反对称）矩阵构成的实数域R上的线性空间；
?（2）第1题（5）中的线性空间R。 6．在R中，求向量??(1,2,1,1)在基
4T?1?(1,1,1,1)T，?2?(1,1,?1,?1)T，?3?(1,?1,1,?1)T，?4?(1,?1,?1,1)T
- 98 -
-
下的坐标。
7．在R2?2中，求矩阵A???12?在基 ???20??11??11??10? 下的坐标。
?1???， ?2???， ?3??10? ?4??11?
1101?????????11? 8．设R[x]n是所有次数小于n的实系数多项式组成的线性空间，求多项式
f(x)?3?2xn?1在基1,(x?1),(x?1)2,?,(x?1)n?1下的坐标。
9．在R中，求基
到基
4?1?(1,0,0,0)T，?2?(0,1,0,0)T，?3?(0,0,1,0)T，?4?(0,0,0,1)T
?1?(2,1,?1,1)T，?2?(0,3,1,0)T，?3?(5,3,2,1)T， ?4?(6,6,1,3)T
的过渡矩阵，确定向量??(x1,x2,x3,x4)T在基?1,?2,?3,?4下的坐标，并求一非零向量，使它在这两组基下有相同的坐标。
10．试判定下列各子集哪些为线性空间R的子空间：
（1）W1?{x?(x1,x2,?,xn)T?R|x1?x2???xn?0}； （2）W2?{x?(x1,x2,?,xn)T?R|x1x2?xn?0}； （3）W3?{x?(x1,x2,?,xn)T?R|x1?x2???xn?1}；
222（4）W4?{x?(x1,x2,?,xn)T?R|x1?x2???xn?1}。
nnnnn 11．设R[x]表示实数系数多项式全体构成的线性空间，问下列子集是否构成R[x]的子空间：
（1）{p(x)|p(1)?0}；
}； （2）{p(x)|p(x)的常数项为零（3）{p(x)|p(?x)?p(x)}； （4）{p(x)|p(?x)??p(x)}。 12．在R中，求如下齐次线性方程组
5- - 99 -
?x1?x2?3x4?x5?0?x?x?2x?x?0?1234 ?
?4x1?2x2?6x3?3x4?4x5?0??2x1?4x2?2x3?4x4?7x5?0确定的解空间的维数和基。
13．设A?Pn?n，Pn?n中全体与A可交换的矩阵记为W?{X?Pn?n|AX?XA}。
（1）证明：W是Pn?n的一个子空间；
?10?0??02?0??时，求W的维数和一组基。 （2）当A??????????00?n??14．求下列由向量{?i}生成的子空间与由向量{?i}生成的子空间的交与和的维数和一组基：
T???1?(1,2,1,0) （1）? T???2?(?1,1,1,1)T???1?(2,?1,0,1) ?T???2?(1,?1,3,7)??1?(1,0,2,1)T?T （2）??2?(2,0,1,?1)
?T??3?(3,0,3,0) 15．设V1与V2分别是齐次线性方程组
T???1?(1,1,0,1) ?T???2?(4,1,3,1) x1?x2???xn?0 和 x1?x2???xn
?V2 。 的解空间，证明：R?V1? 16．设S,K分别是n阶实对称矩阵和反对称矩阵的全体，证明S,K均为线性空间R的子空间，并且Rn?nn?nn?K 。 ?S?17．设V1，V2，?,Vs是数域P上线性空间V的s个子空间，证明下面的叙述等价： （1） 和V1+V2+??Vs是直和；
（2） 和V1+V2+??Vs中零向量的表示法唯一；
- - 100 -