内容发布更新时间 : 2024/5/12 6:48:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

立体几何专题

1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 【答案】B

【解析】由面面平行的判定定理知：?内两条相交直线都与?平行是?∥?的充分条件，由面面平行性质定理知，若?∥?，则?内任意一条直线都与?平行，所以?内两条相交直线都与?平行是?∥?的必要条件，故选B．

【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若a??,b??,a∥b，则?∥?”此类的错误．

2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则

A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 【答案】B

【解析】如图所示，作EO?CD于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN 是三角形EBD的中线，是相交直线.

过M作MF?OD于F，连接BF，

平面CDE?平面ABCD，EO?CD,EO?平面CDE，?EO?平面ABCD，MF?平面ABCD，

?△MFB与△EON均为直角三角形．设正方形边长为2，易知EO?3,ON?1,EN?2，MF?35,BF?,?BM?7，?BM?EN，故选B． 22

【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．

3．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm）是

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A．158 C．182 【答案】B

B．162 D．324

【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，

下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为?故选B.

4?6??2?6?3??3??6?162. 22??【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.

4．【2019年高考浙江卷】设三棱锥V–ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成的角为α，直线PB与平面ABC所成的角为β，二面角P–AC–B的平面角为γ，则 A．β<γ，α<γ

B．β<α，β<γ D．α<β，γ<β

C．β<α，γ<α 【答案】B

【解析】如图，G为AC中点，连接VG，V在底面ABC的投影为O，则P在底面的投影D在线段AO上，过D作DE垂直于AC于E，连接PE，BD，易得PE∥VG，过P作PF∥AC交VG于F，连接BF，过D作DH∥AC，交BG于H，则???BPF,???PBD,???PED，结合△PFB，△BDH，△PDB均为直角三角形，可得cos??PFEGDHBD????cos?，即???；在Rt△PED中，PBPBPBPBtan??PDPD??tan?，即???，综上所述，答案为B. EDBD

【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.

5．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，

BC的距离均为3，那么P到平面ABC的距离为___________．

【答案】2

【解析】作PD,PE分别垂直于AC,BC，PO?平面ABC，连接CO， 由题意可知CD?PD,CD?PO，PDPO=P，

\\CD^平面PDO，又OD?平面PDO，?CD?OD，

PD?PE?3，PC?2，?sin?PCE?sin?PCD???PCB??PCA?60?，

又易知PO?CO，CO为?ACB的平分线，

3， 2??OCD?45?,?OD?CD?1,OC?2，

又PC?2，?PO?4?2?2．

【名师点睛】本题主要考查学生空间想象能力，合理画图成为关键，准确找到P在底面上的射影，使用线面垂直定理，得到垂直关系，利用勾股定理解决．注意画图视角选择不当，线面垂直定理使用不够灵活，难以发现垂直关系，问题则很难解决，将几何体摆放成正常视角，是立体几何问题解决的有效手段，几何关系利于观察，解题事半功倍．

6．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长

方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）

【答案】26，2?1

【解析】由图可知第一层（包括上底面）与第三层（包括下底面）各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18?8?26个面．

如图，设该半正多面体的棱长为x，则AB?BE?x，延长CB与FE的延长线交于点G，延长BC交正方体的棱于H，由半正多面体对称性可知，△BGE为等腰直角三角形，

?BG?GE?CH?22x,?GH?2?x?x?(2?1)x?1， 22?x?1?2?1， 2?1即该半正多面体的棱长为2?1．

【名师点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方

体ABCD?A1B1C1D1挖去四棱锥O?EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.

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