内容发布更新时间 : 2024/5/5 11:21:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

薇平面向量数量积运算的解题方法与策略

蚃

膁平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。

蒀1.利用数量积运算公式求解

肇在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛,

２

即(a＋b)

＝a２＋２a·b＋b２，（a－b）２＝a２－２a·b＋b２

２

２

上述两公式以及(a＋b)(a－b)＝a－b这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.

芃例1 已知｜a｜＝２，｜b｜＝５，a·b＝－３，求｜a＋b｜，｜a－b｜.

２２２２２２

薈解析：∵｜a＋b｜＝（a＋b）＝a＋２a·b＋b＝２＋２×（－３）＋５＝２３

莄蒆２

∴｜a＋b｜＝23，∵（｜a－b｜）＝（a－b）＝a－2a·b＋b＝2－2×（－3）

２

２

２

２

２

×５＝35，

膄∴｜a－b｜＝35．

肀

例2 已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ(精确到１°).

２

２

２

２

２

解析：∵（｜a＋b｜）＝（a＋b）＝a＋2a·b＋b＝｜a｜＋2｜a｜·｜b｜ｃｏ

２

ｓθ＋｜b｜

２２２

袅∴１６＝８＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０，

羁袄∴ｃｏｓθ＝

23，∴θ≈５５° 40

肂例3 已知a＝（3，4），b＝（4，3），求x,y的值使(xa+yb)⊥a，且｜xa+yb｜=1.

聿分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.

莅解：由a＝（3，4），b＝（4，3），有xa+yb=(3x+4y,4x+3y)

蚅又（xa+yb）⊥a?(xa+yb)·a＝０?3(3x+4y)+4(4x+3y)=0

膃即25x+24y＝０ ①

２２２

膇又｜xa+yb｜=1?｜xa+yb｜＝１?（３x+4y）＋（４x+3y）＝１

２２２

羈整理得：25x＋48xy+25y＝１即x(25x+24y)+24xy+25y＝１ ②

２

莅由①②有24xy+25y＝１ ③

羀将①变形代入③可得：y=±

5 724?24?x?x?????35?35和?薀再代回①得：? 55?y???y??7?7??

蒇

膅2. 利用定义直接求解.

羂例4 若向量a,b满足a?b?2，a,b的夹角为45°，则a?a?a?b=______.

蚈解析：根据数量积的定义得a?a?a?b?2?2?2?2cos45?4?22，

0袇例5 设向量2te1?7e2与向量e1?te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

薂 解析：∵(2te1?7e2)(e1?te2)?0，故2t?15t?7?0，

肃2解之?7?t??1 ． 2

肁另有2t??,7?t?，解之t??14,???14， 2

芆∴t?(?7,?14141)?(?,?)． 222

莂例6 如图, 已知正六边形PP下列向量的数量积中最大12P3P4P5P6，

的是（ ）

袀（A）PP12?PP13 （B）PP12?PP14

腿 （C）PP12?PP15 （D）PP12?PP16

螆解析：选项中均有向量PP12，根据数量积的几何意义，要找

的最大值,只需求PPP?3,4,5,6)1P2?P1Pi(i1i(i?3,4,5,6)在PP12方向上的投影最大即可，画图可知只有PP13在PP12方向上的投影最大，故最大选A.

肃3. 利用数量积的定义、性质、运算律求解 例7 判断正误，并简要说明理由.

袂

芇①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB＝BA；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若

ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对

２

任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２

＝ｂ.

膅分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０； 对于②：应有０·ａ＝0；

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