内容发布更新时间 : 2024/11/18 19:34:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第八章 多元函数的微分法及其应用

习题 8－1

1. 指出下列平面位置的特殊性质：

（1）2x?3y?20?0 （2）3x?2?0

（3）4y?7z?0 （4）x?y?z?0 解 （1）因为方程中缺变量z, 所以该平面平行于z轴.

（2）因为方程中缺变量y、z, 所以该平面平行于yz平面即垂直于x 轴.

（3）因为方程中缺变量x且不含常数项, 所以该平面平行于x轴且经过原点（0，0，0）. （4）因为方程中缺常数, 所以该平面通过原点（0，0，0）.

2. 求下列轨迹的方程：

（1）与点(3,0,?2)的距离为4个单位的点的轨迹;

（2）与两定点P(c,0,0)和Q(?c,0,0)的距离之和等于2a(a?0)的点的轨迹; （3）与z轴和点(1,3,?1)等距离的点之轨迹;

（4）与yz平面的距离为4，且与点(5,2,?1)的距离为3的点之轨迹.。 解 设动点为M(x,y,z)，则

（1）点M(x,y,z)与点(3,0,?2)的距离为 整理得动点M(x,y,z)的轨迹为

(x?3)2?(y?0)2?(z?2)2?4 x2?y2?z2?6x?4z?3?0.

（2）动点M(x,y,z)与两定点P(c,0,0)和Q(?c,0,0)的距离之和等于

2a，即

(x?c)2?(y?0)2?(z?0)2?(x?c)2?(y?0)2?(z?0)2?2a

整理得动点M(x,y,z)的轨迹为

(a2?c2)x2?a2y2?a2z2?a2(a2?c2)?0.

(3) 动点M(x,y,z)与z轴和点(1,3,?1)等距离为 整理得动点M(x,y,z)的轨迹为

(x?1)2?(y?3)2?(z?1)2?x2?y2 z2?2x?6y?2z?11?0.

(4) 由动点M(x,y,z)与yz平面的距离为4，得|x|?4， 由动点M(x,y,z)与点(5,2,?1)的距离为3, 得

(x?5)2?(y?2)2?(z?1)2?3

x?4??22(y?2)?(z?1)?8. M(x,y,z)?故点的轨迹为

3. 求下列各曲面的方程：

(1) 中心在点(?1,?3,2)且通过点(1,?1,1)的球面方程;

1

(2) 过点(2,1,?1)而在x轴和y轴上的截距分别为2和1的平面方程; (3) 平行于xz平面并过点（2，-5，3）的平面方程;

(4) 一动点与点(1,0,0)的距离是与平面x?4的距离之一半，求该

动点之方程.

解 （1）设(x,y,z)为所求球面上的任意一点且球面半径为R，则 将点(1,?1,1)代入上式，得R?3. 故所求球面方程为 （2）设所求的平面方程为

Ax?By?Cz?D?0 （*）

将点(2,0,0),(0,1,0),(2,1,?1)代入上式，得

(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?R2

(x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?9.

2A?D?0??B?D?0??2A?B?C?D?0?

解得A??0.5D,B??D,C??D. 代入方程（*）整理得平面方程为

x?2y?2z?2?0.

（3）设所求平面方程为

By?D?0 （**）

将点(2,?5,3)代入上式，得D?5B.代入方程（**）整理得平面方程为 y?5?0.

(4) (4) 设动点为(x,y,z)，则 整理得动点的方程为 (x?1)2?(y?0)2?(z?0)2?0.5|x?4|

3x2?4y2?4z2?12.

4.作出下列方程之图形：

（1）x?y?z?1?0 （2）y?3z?0

2（3）x?0 （4）y?1

2（5）x?y?z?1 （6）x?y?0

22222x2y2x2y2??1??3z?04949（7） （8）

解 （1） （2）

(图8－1) (图8－2)

（3） （4）

4）

2

(图8－3) (图8－4)

（5） （6）

(图8－5) (图8－6)

（7） （8）

习题 8－2

f(x,y)?x2?y2?xytan1. 已知解

xy，求f(tx,ty).

txty

f(tx,ty)?t2x2?t2y2?(tx)(ty)tanx?t2(x2?y2?xytan)?t2f(x,y)y .

2.已知f(u,v,w)?u?wwu?v，求f(x?y,x?y,xy).

xyx?y?x?yf(x?y,x?y,xy)(x?y)?(xy)解 =

xy2x =(x?y)?(xy).

xf(,xy)32y3. 已知f(x,y)?x?2xy?3y，求.

xxxf(,xy)?()3?2xy?3(xy)2yyy解

x32xxy?3??3xyyy.

4*.设z?y?f(x?y)且y?1时z?x，试求f(x)和z.

解 由y?1时z?x，得 x?1?f(x?1)

3

令t?2x?1，则(t?1)?1?f(t)，即

f(t)?1?(t?1)2??t2?2t

2所以 f(x)??(x?2x)

z?y?f(x?y) ?y?[?(x?y)2?2(x?y)] ?y?x?y2?2yx?2x?2y2 ?y?2(x?y)?(x?y).

5 .求下列函数的定义域并作出图形：

2（1）z?ln(y?2x?1) （2）

z?1x?y?1x?y z?（3）

4x?y2ln(1?x2?y2) （4）z?x?2y 解 （1）当y?2x?1?0时, 函数有意义, 故函数的定义域(如图8－9所示)为

D?{(x,y)|y2?2x?1?0}.

（2）当x?y?0,x?y?0时, 函数有意义,

故函数的定义域(如图8－10所示)为 图8－9 D?{(x,y)|x?y?0且x?y?0}

222（3）当4x?y?0和1?x?y?0且1?x?y?1时, 函数有意义, 故函数的定义域(如图8－11所示)为

22D?{(x,y)|y2?4x，0?x2?y2?1}

（4）当y?0,x?y?0，即x?0,y?0且

x2?y时, 函数有意义, 故函数的定义域

(如图8－12所示)为 图8－10

D?{(x,y)|x?0，y?0，x2?y}.

图

6. 求下列各极限：

8

－

11

图8－12

（1）（3）解

(x,y)?(0,1)lim1?xyx?y （2）

xy22(x,y)?(1,0)limln(x?ey)x2?y2

(x,y)?(0,0)limsinxyxy?1?1 （4）(x,y)?(2,0)y

lim（1）(x,y)?(0,1)lim1?xyx2?y2=1.

4

ln(x?ey)（2）(x,y)?(1,0)lim（3）(x,y)?(0,0)limx2?y2=ln2. xylimxy?1?1=(x,y)?(0,0)xy(xy?1?1)xy=2.

(4) (x,y)?(2,0)7. 证明下列极限不存在：

limsinxyxsinxylimy=(x,y)?(2,0)xy=2.

x2y2x?ylimlim2（1）(x,y)?(0,0)x?y （2）(x,y)?(0,0)(x?y) 证 （1）因为当点(x,y)沿直线y?2x趋向(0,0)点，得

x?2xlimx?yx?0lim y?2x?0x?y=x?0x?2x=?3 当点(x,y)沿直线x?2y趋向(0,0)点，得

x?y3ylimy?0x?yy?0y x?2y?0==3

limx?ylim所以 (x,y)?(0,0)x?y不存在.

（2）因为当点(x,y)沿直线y?kx(k?1)趋向(0,0)点，得

22x2y2(kx)2limx(kx)x?0x?0lim(1?k)222(x?y)(x?kx)y?kx?0y?kx?0 ==x?0=0

2当点(x,y)沿曲线y?x?x趋向(0,0)点，得

lim222x2y2limx(x?x)x?0x?0lim(1?x)222222y?x?xy?x?x(x?y)(x?x?x) ==x?0=1

x2y2lim2(x,y)?(0,0)(x?y)不存在. 所以

lim8. 求下列函数的不连续点：

xy1z?sin22x?yxy x?y （3）（1） （2）

解 （1）因为在(0,0)点处, 函数无意义, 所以函数不连续点为(0,0).

z?1z?（2）因为当x?y?0时, 函数无意义, 所以函数不连续点为直线x?y?0上的一切点.

y?0时, 函数无意义, 所以函数不连续点为坐标轴上的一切点. （3）因为当x?0或 ln(1?x?y)9.求函数

解 要使该函数有意义，则恒有

?4x?y2?0??22?1?x?y?0?22??1?x?y?1

f(x,y)?4x?y2221(x,y)?(,0)2的定义域及

limf(x,y).

5