内容发布更新时间 : 2024/12/23 22:14:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二章 复变函数的积分

基本要求：

1．正确理解复变数函数路积分的概念； 2．深刻理解柯西定理及孤立奇点的定义； 3．理解并会熟练运用柯西公式。

教学内容：

§2.1 复数函数的积分，路积分及其与实变函数曲线积分的联系。

§2.2 柯西定理。柯西定理的内容和应用，孤立奇点，单连通区域，复连通区域，回路积分。 §2.3 不定积分*。原函数。

§2.4 柯西公式。柯西公式的导出，高阶导数的积分表达式。（模数原理及刘维定理不作要求）

本章重点：柯西定理，柯西公式和孤立奇点。

《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编 2-1

§2.1 复变函数的积分

（一）复变函数的积分（简称复积分）

1.复积分的定义

曲线l是分段光滑曲线（起点A(z0)，终点B(zn)）；

（光滑曲线：曲线上每一点都有切线）。把曲f(z)在l上连续；

线l分成n小段，zk?1?zk是第k小段，在[zk?zk?1]上任取一点?k，求和

?f(?k?1nk)(zk?zk?1)=?f(?k)?zk，

k?1n当n??而且每个?zk都趋于零时，如果这个和的极限存在，而且其值与各个?k的选取无关，则这个和的极限称为函数f(z)沿曲线l从A，终点B的路积分，记作即

?lf(z)dz，

?2. 复积分的计算方法

lf(z)dz?max?zk?0lim?f(?k?1nk)?zk (2.1.1)

复变函数积分可以分解为两个实积分来计算。 即：f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，dz?dx?idy

?3. 复积分的性质

lf(z)dz??[u(x,y)?iv(x,y)](dx?idy)l??u(x,y)dx?v(x,y)dy?i?v(x,y)dx?u(x,y)dyll

复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分，因而实变函数线积分的许多性

《数学物理方法》（第四版）梁昆淼编 2-2

质也对路积分成立，如

(1)常数因子可以移到积分号之外；

?cf(z)dz?c?f(z)dz

ll(2)函数和的积分等于各个函数的积分和；

??f(z)?f(z)?......?f(z)?dz??f(z)dz??f(z)dz?.......??f(z)dz

l12nl1l2ln(3)反转积分路径，积分变号；

?l?f(z)dz????f(z)dz

l(4)全路径上的积分等于各段上的积分和。

?lf(z)dz??f(z)dz??f(z)dz?......??f(z)dz

l1l2ln(5)积分不等式1：

?lf(z)dz??f(z)dz

l(6)积分不等式2：?lf(z)dz?ML 其中M是f(z)在l上的最大值，L是l的全长。

（二）举例

【例】 (P24)试计算积分 I1?y ?Rezdz，I??l12l2Rezdz

l2 o l1，l2分别如图所示，l1:(0,0)?(1,0)?(1,1),

l2:(0,0)?(0,1)?(1,1)

解：

l1 x

I1??Rezdz??l1(1,0)(0,0)xdx?ixdy??(1,1)(1,0)xdx?ixdy??xdx??idy?00111 ?i　2I2??Rezdz??l2(0,1)(0,0)xdx?ixdy??(1,1)(0,1)xdx?ixdy??xdx?011 　2结论：一般说来，复变函数的积分值不仅依赖于起点和终点，同时还与积分路径有关。

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