内容发布更新时间 : 2024/7/1 4:42:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《轴对称》之“将军饮马”问题

“将军饮马”的起源:

早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．

而从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【图示】

【分析】

我们把俯视图视角的问题抽象化，数学化，将河流看作一条直线l，军营看作一个点，转化为一个路程之和的最短问题．即如下图：直线同侧有两点A，B，在直线上选取一点C，使得AC＋BC最短．

在思考这个问题之前，我们先来回忆下初一上学期中，涉及线段最短的两个重要结论：

1、两点之间，线段最短． 2、垂线段最短．

请各位同学务必记住，初中阶段的几何最值问题，最后几乎都可以转化为通过这两个结论来求得．

如果“将军饮马”问题不能很快回答，那么我们先看这个问题，假如军营A，B在河的两岸，那么这个点C在哪呢？

很简单，连接AB，与直线l的交点即为点C．理由，两点之间，线

段最短．(当然也可以用三角形一边小于两边之和)

那么回到原先的问题，即军营A，B在河的同侧，该如何思考就不难了．根据线段对称性，只需作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l的交点即为点C．

【解答】

如图

【变式1】

若将军骑马从军营出发，先骑马去草地边吃草，再牵马去河边喝水，最后回到军营，问：这位将军怎样走路程最短？ 【图示】

【分析】

我们同样把这个问题转化为熟悉的数学问题，把军营看作一个点，而把草地边和河边看作两条直线，当然在图示中，这两条直线相交，形成了一个角．问题即转化为，如下图：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．