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因动点产生的面积问题

例1 2013年苏州市中考第29题

如图1，已知抛物线y?12x?bx?c（b、c是常数，且c＜0）与x轴交于A、B两点2（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1,0)．

（1）b＝______，点B的横坐标为_______（上述结果均用含c的代数式表示）；

（2）连结BC，过点A作直线AE//BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，坐标为(2,0)，当C、D、E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连结PB、PC．设△PBC的面积为S．

①求S的取值范围；

②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有_____个．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA与△COB保持相似．点击按钮“C、D、E三点共线”，此时△EHD∽△COD．拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个．

请打开超级画板文件名“13苏州29”，拖动点C在y轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA与△COB保持相似．点击按钮“C、D、E三点共线”，此时△EHD∽△COD．拖动点P从A经过C到达B，数一数面积的正整数值共有11个．

思路点拨

1．用c表示b以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB＝2OC． 2．当C、D、E三点共线时，△EHA∽△COB，△EHD∽△COD．

3．求△PBC面积的取值范围，要分两种情况计算，P在BC上方或下方． 4．求得了S的取值范围，然后罗列P从A经过C运动到B的过程中，面积的正整数值，

再数一数个数．注意排除点A、C、B三个时刻的值．

满分解答

1，点B的横坐标为－2c． 21111（2）由y?x2?(c?)x?c?(x?1)(x?2c)，设E(x,(x?1)(x?2c))．

2222（1）b＝c?过点E作EH⊥x轴于H．

由于OB＝2OC，当AE//BC时，AH＝2EH．

所以x?1?(x?1)(x?2c)．因此x?1?2c．所以E(1?2c,1?c)．

EHCO1?c?c．所以． ??DHDO?2c?121整理，得2c2＋3c－2＝0．解得c＝－2或c?（舍去）．

213所以抛物线的解析式为y?x2?x?2．

22当C、D、E三点在同一直线上时，

（3）①当P在BC下方时，过点P作x轴的垂线交BC于F． 直线BC的解析式为y?设P(m,m2?1x?2． 2311m?2)，那么F(m,m?2)，FP??m2?2m． 2221所以S△PBC＝S△PBF＋S△PCF＝FP(xB?xC)?2FP??m2?4m??(m?2)2?4．

2因此当P在BC下方时，△PBC的最大值为4．

当P在BC上方时，因为S△ABC＝5，所以S△PBC＜5． 综上所述，0＜S＜5．

②若△PBC的面积S为正整数，则这样的△PBC共有11个．

12考点伸展

点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中，△PBC的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．

当P在BC下方，S＝4时，点P在BC的中点的正下方，F是BC的中点．

例 2 2012年菏泽市中考第21题

如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．

（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．

请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB′A′B是等腰梯形时，四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．

思路点拨