内容发布更新时间 : 2024/5/21 4:06:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第五章 相似矩阵及二次型

本章我们所讨论的矩阵均为方阵. 对于方阵A,尽管线性变换x?Ax可能会把向量x往各种方向上移动,但其中存在一些特殊的向量,A在其上的作用十分简单.

例如,设A????3?2??2???,x???1??. 则Ax?2x,即A在x上的作用相当于将向量x拉伸10????为原来的两倍(见右图).

在本章中,我们要研究形如Ax??x(?为一数量)的方程,并且求那些被A作用相当于被数乘作用的向量,此即为方阵的特征值与特征向量问题,它们在纯数学和应用数学中有广泛的应用,并且在工程设计、生态系统分析等许多学科领域中具有广泛的应用背景.

第一节 向量的内积、长度及正交性

在第三章中，我们研究了向量的线性运算，并利用它讨论向量之间的线性关系，但尚未涉及到向量的度量性质.

??在空间解析几何中，向量x?{x1,x2,x3}和y?{y1,y2,y3}的长度与夹角等度量性质可以通过两个向量的数量积

?????? x?y?|x||y|cos(x,y) 来表示，且在直角坐标系中，有

?? x?y?x1y1?x2y2?x3y3,

?222 |x|?x1. ?x2?x3本节中，我们要将数量积的概念推广到n维向量空间中，引入内积的概念, 并由此进一步定义n维向量空间中的长度、距离和垂直等概念.

分布图示

★ 引言

★ 内积的定义与性质 ★ 向量的长度与性质

★ 单位向量及n维向量间的夹角 ★ 正交向量组 ★ 求规范正交基的方法

★ 例6

★ 正交矩阵与正交变换 ★ 内容小结 ★ 习题4-1

★ 例1

★ 例2

★例3 ★ 例5

★ 例4 ★ 向量空间的正交基 ★ 例7 ★ 例9

★ 课堂练习

★ 例8

内容要点

一、内积及其性质

定义1 设有n维向量

?x1????x?x??2?,????x??n??y1????y?y??2?,

????y??n?令 [x,y]?x1y1?x2y2???xnyn, 称[x,y]为向量x与y的内积.

注:内积[x,y]有时也记作?x,y?.

内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 按矩阵的记法可表示为

?y1????y?[x,y]?xTy?(x1,x2,?,xn)?2?.

????y??n?内积的运算性质 (其中x,y,z为n维向量,??R): (1) [x,y]?[y,x]; (2) [?x,y]??[x,y];

(3) [x?y,z]?[x,z]?[y,z];

(4) [x,x]?0; 当且仅当x?0时, [x,x]?0.

二、向量的长度与性质

定义2 令

222||x||?[x,x]?x1?x2???xn,

称||x||为n维向量x的长度(或范数).

向量的长度具有下述性质:

(1) 非负性 ||x||?0;当且仅当x?0时, ||x||?0; (2) 齐次性 ||?x||?|?|||x||;

(3) 三角不等式 ||x?y||?||x||?||y||;

(4) 对任意n维向量x,y, 有 [x,y]?||x||?||y||.

注: 若令xT?(x1,x2,?,xn),yT?(y1,y2,?,yn), 则性质(4)可表示为

?xiyii?1n??i?1nxi2??yi2

i?1n上述不等式称为柯西—布涅可夫斯基不等式，它说明Rn中任意两个向量的内积与它们长度之间的关系.

当||x||?1时, 称x为单位向量.

对Rn中的任一非零向量?, 向量

?是一个单位向量,因为 ||?||?1?||?||?1. ||?||||?||注: 用非零向量?的长度去除向量?,得到一个单位向量,这一过程通常称为把向量?单位化.

当||?||?0,||?||?0, 定义

??arccos称?为n维向量?与?的夹角.

[?,?](0????).

||?||?||?||

三、正交向量组

定义3 若两向量?与?的内积等于零，即 [?,?]?0， 则称向量?与?相互正交. 记作???.

注: 显然,若??0, 则?与任何向量都正交.

下面的图示给出了关于正交向量的一些重要事实.

??????(??)???????????与?相互垂直当且仅当??????(??)

:?勾股定理 与?相互垂直当且仅当???????

定义4 若n维向量?1,?2,?,?r是一个非零向量组，且?1,?2,?,?r中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组.

定理1 若n维向量?1,?2,?,?r是一组正交向量组，则?1,?,?r线性无关.

四、规范正交基及其求法

定义5 设V?Rn是一个向量空间，

① 若?1,?2,?,?r是向量空间V的一个基，且是两两正交的向量组，则称?1,?2,?,?r是向量空间V的正交基.

② 若e1,e2,?,er是向量空间V的一个基,e1,?,er两两正交, 且都是单位向量, 则称e1,?,er是向量空间V的一个规范正交基(或标准正交基).

若e1,?,er是V的一个规范正交基, 则V中任一向量?能由e1,?,er线性表示, 设表示