内容发布更新时间 : 2024/5/22 7:44:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
向量代数与空间解析几何
第一部分 向量代数___线性运算
[内容要点]:
1. 向量的概念. 2. 向量的线性运算.
3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算.
[本部分习题]
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限. A(2,?3,?5);B(0,4,3);C(0,?3,0) 2. 求点(1,?3,?2)关于点(?1,2,1)的对称点坐标. 3. 求点M(?4,3,?5)到各坐标轴的距离.
4. 一向量的起点为A(1,4,?2),终点为B(?1,5,0),求AB在x轴、y轴、z轴上的投影,并
求|AB|。
5. 已知两点M1(4,2,1)和M2(3,0,2),计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角.
6． 已知a?{3,5,4},b?{?6,1,2},c?{0,?3,?4},求2a?3b?4c及其单位向量.
7．设a?3i?5j?8k,b?2i?4j?7k,c?5i?j?4k,求向量l?4a?3b?c在x轴上的投影以及在y轴上的分向量.
???????????????????????????第二部分 向量代数___向量的“积”
[内容要点]:
1.向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算
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规律。
2.向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。 3.向量垂直、平行、共面的条件. [本部分习题]
1． 设a?{3,?1,?2},b?{1,2,?1},求：
（1）a?b;(2)a?b;(3)cos(a,b);(4)Prjab;(5)Prjba.
2． 设a?{2,?3,1},b?{1,?1,3},c?{1,?2,0},求：
?????????????(?b?)c;(2a?)(b?)c (1)a2??????;a(?3)b? (c22???3． 利用向量证明不等式：a1?a2?a3?b1?b2?b3?a1b1?a2b2?a3b3
其中ai,bi(i?1,2,3)均为实数，并指出等号成立的条件.
4．设a?{3,5,?2},b?{2,1,9},试求?的值,使得: （1）?a?b与z轴垂直；
（2）?a?b与a垂直，并证明此时|?a?b|取最大值。
5．已知|a|?3,|b|?36,|a?b|?72,求a?b。
6． 判断向量a,b,c是否共面。
?????????
?????222????(1)a?{3,2,5},b?{1,1,2},c?{9,7,?16}; (2)a?{1,?2,3},b?{3,3,1},c?{1,7,?5}; (3)a?{1,?1,2},b?{2,4,5},c?{3,9,8};
?????????第三部分 空间解析几何
[内容要点]:
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1. 平面方程和直线方程，平面与直线的位置关系。 2. 空间曲线及其方程和在坐标平面上的投影及其方程。 3. 曲面方程的概念，旋转曲面、柱面、二次曲面的方程及其图形。
[本部分习题]
1． 求满足下列条件的平面方程：
（1） 过点A（1，-2，3）且与向径OA垂直； （2） 过点（3，1，-2）且与平面2x+y-7z+10=0平行； （3） 过点（1，0，2）且平行于向量a?{1,?1,2},b?{2,1,0}; （4） 过点（1，1-1），（-2，-2，2）和（1，-1，2）； （5） 过点（1，2，-1）和y轴；
（6） 过点（2，0，1）和点（5，1，3）且平行于z轴；
（7） 过点（1，1，1）和点（0，1，-1）且与平面x+y+z=0相垂直
2． 求平面2x-2y+z+5=0与平面x+3y-2z+7=0的夹角的余弦。
3． 求两平行平面Ax?By?Cz?D1?0与Ax?By?Cz?D2?0之间的距离。 4． 求下列直线的方程：
（1） 过点（-2，3，1）且平行于直线
???x?1yz?2??； 321（2） 过点（1，1，5）且垂直于平面2y-z=0；
（3） 过点（1，2，-3）和（2，1，4）；
（4） 过点（0，2，4）与两平面x+2z-1=0和y-3z-2=0平行； （5） 过点（0，1，2）且与直线
x?1y?1z??垂直相交。 1125． 写出下列直线的对称式及参数方程：
(1)?0?x?y?z??x?y?z?5?0 (2)? 0?x?y?z??3x?8y?4z?36?06． 判断下列直线L1和L2的相互位置，并求夹角的余弦：
xy?3zx?1??,L2:?2341x?1yz?1x??,L2:? (2)L1:1121 (1)L1:
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y?2z?2?; 12y?1z?2?; 347． 求下列投影点的坐标：
（1） 点（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影点；
（2） 点（2，3，1）在直线
x?7y?2z?2??上的投影点。 1238． 求直线??x?2y?z?1?0在平面x?y?z?3?0上的投影直线方程。
3x?2y?z?1?0??x?2y?5?0?y?0与?的公垂线的方程。
?2y?z?4?0?x?2z?4?09． 求两直线?10．
指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形
（1）x?2y?1 （2）x2?y2?1 （3）x2?y2?1 （4）1?x2?2y 11．写出下列曲线绕指定轴旋转而成的旋转曲面的方程： （1）yOz面上的抛物线z2?2y绕y轴旋转； （2）xOy面上的双曲线2x2?3y2?6绕x轴旋转；
（3）xOz面上的直线x?2z?1?0绕z轴旋转。
12．指出下列方程所表示的曲面哪些是旋转曲面，这些旋转曲面是如何形成的？ （1）x?y2?z2?1 （2）x2?y2?z?1
y2?z2?1 （4）?x2?y2?z2?2z?1 （3）x?42 13．指出下列方程表示的曲线：
?(x?1)2?(y?4)2?z2?25?x2?4y2?3z2 （1）? （2）?
?y?1?0?z?2?x2?y2?z2?9 14．将曲线?化为参数方程，并求其在xOy平面上的投影方程。
?x?z?1222??x?y?4z?1 15．求准线为?2母线平行于z轴的柱面方程。 22??x?y?z
[重点、难点、考点]:
本章要求熟悉向量的概念及其运算和空间直角坐标系
以及一些特殊曲面的方程及其图形。
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【总习题】
1．在边长为1的立方体中，设OM为对角线，OA为棱，求OA在OM上的投影。 2．设|a|?3,|b|?1,a与b的夹角= （1）a?b与a?b之间的夹角；
（2）以a?2b与a?3b为邻边的平行四边形的面积。 3．设a,b为非零向量，且|b|?1,a与b的夹角=
?????????????????6，计算：
???|a?xb|?|a|?，求lim。
x?0x3???4． 已知点A（-1，0，0）和B（0，3，2），试在z轴上求一点C，使?ABC的面积最
小。 5． 求通过点A（3，0，0）和B（0，0，1）且与xOy面成
?角的平面方程。 46． 设一平面过原点及点（1，-1，0）到直线??y?2x?3?0的垂线，求此平面的方程。
x?z?3?0?x?1y?1z?1??,和 1017． 设一直线过点（2，-1，2）且与两条直线L1: L2:x?2y?1z?3??,同时相交，求此直线的方程。 11?1?x?b?8． 求直线?b(bc?0)绕z轴旋转所得旋转面的方程，它表示什么曲面？
y?z?c?9． 证明直线?
?x?y?1?x?y?1与?相交，并求出交点的坐标。
?x?z?0?z??15