内容发布更新时间 : 2024/11/16 11:36:36星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

初中数学规律探究题的解法指导

广南县篆角乡初级中学 郭应龙

新课标中明确要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。在历年的中考或学业水平考试中屡见不鲜，频繁考查，考生大都感到困难重重，无从下手，导致丢分。解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。笔者认为：只要善于观察，细心研究，知难而进，就会走出“山穷水尽疑无路”的困惑，收获“柳暗花明又一村”的喜悦。

一、数式规律探究

通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：

1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。 2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1… 奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3… 偶数…2n-2,2n,2n+2… 3.熟记常见的规律

n(n?1)2n(n?1)n

③ 1、3、7、15……2 -1 ④ 1+2+3+4+…n=

2 ① 1、4、9、16...... n ② 1、3、6、10……

2

⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n ⑦ 1+2+3….+n=

2

2

2

2

2

⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)

1333312

n(n+1)(2n+1) ⑧ 1+2+3….+n=n(n+1） 64 数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：

1.观察法

例1.观察下列等式：①1×

112233=1- ②2×=2- ③3×=3- 223344④4×=4-……猜想第几个等式为 （用含n的式子表示） 分析：将等式竖排：

454511=1- 观察相应位置上变化的数字与序列号 2222②2×=2- 的对应关系（注意分清正整数的奇偶）

3333③3×=3- 易观察出结果为：

44①1×

1

④4×=4- n×

1

2

4545nn=n-

n?1n?13

4

5

6

例2.探索规律：3=3，3=9，3=27，3=81，3=243，3=729……，那么 3

2009

的个位数字是 。

分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果

余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为：3

2.函数法

例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：

所剪次数 正三角形个数 1 4 2 7 3 10 4 13 … … n an 则an= （用含n的代数式表示）

分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）

正三角形个数：4、7、10、13 第一次求差结果相等，用一次函数y=kx+b 第一次求差 ： 3 3 3 代入（1、4）（2、7）解之得：y=3x+1 ∴an=3n+1

例4.有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 。 分析：对这组数据做求差处理： 原数 1 2 5 10 17 26

第一次求差：1 3 5 7 9

第二次求差：2 2 2 2

第二次求差结果相等，同二次函数y=ax+bx+c 代入（1、1）（2、2）（3、5） 解之得y= x-2x+2=（x-1）+1 ∴当=8时，y=50 尝试练习：

1.观察下列等式：1×3=1+2×1；2×4=2+2×2；3×5=3+2×3……请将 你猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来： 。 2.观察下列各式：×2=+2；×3=+3；×4=+4；×5=+5…… 设n为正整数，用关于n的等式表示这个规律为 。 3.观察下列各式：1?2

2

2

2

2

2

2121323243435454111111=2；2?=3；3?=4……请你将猜想到的规律用含正整数345345n(n≥1)的代数式表示出来为 。 4.已知：2+=2×；3+=3×；4+

232

23382

38525424=4×；5+=5×…，若

242415152

10+=10×符合前面式子的规律，则a+b= 。

5.已知下列等式：①1=1；②1+2=3；③1+2+3=6；④1+2+3+4=10…由此规律可推 出第n等式： 。

6、观察下列算式：

，

，

，

.

3

2

3

3

2

3

3

3

2

3

3

3

3

2

ba2

ba请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：1、下面有8个算式，排成4行2列

2＋2， 2×2

33， 3× 22444＋， 4×

33555＋， 5×

443＋

……， ……

（1）同一行中两个算式的结果怎样？ （2）算式2005＋

20052005和2005×的结果相等吗？ 20042004（3）请你试写出算式，试一试，再探索其规律，并用含自然数n的代数式表示这一规律。（5分）

2、你能很快算出2005

为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的正整数的平方，任意一个个位数为5的正整数可写成10n＋5（n为正整数），即求?10n?5?的值，试分析n?1，2，3……这些简单情形，从中探索其规律。 ⑴通过计算，探索规律:

22吗？（5分）

152?225可写成100?1??1?1??25；

252?625可写成100?2??2?1??25；

352?1225可写成100?3??3?1??25；

452?2025可写成100?4??4?1??25；

………………

752?5625可写成________________________________

852?7225可写成________________________________

⑵根据以上规律，试计算105

2= 3