内容发布更新时间 : 2025/3/1 9:28:28星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
课时达标检测（四十四） 直线与圆、圆与圆的位置关系
[练基础小题——强化运算能力]
1．直线y＝ax＋1与圆x＋y－2x－3＝0的位置关系是( ) A．相切 C．相离
B．相交
D．随a的变化而变化
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解析：选B 因为直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)＋y＝4的内部，故直线与圆相交．
2．(2017·西安模拟)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x＋y－2x＋2y－7＝0的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
解析：选B x＋y－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为(x－1)＋(y＋1)＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝
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a＋－a－＋2a||2a＋2|
＝ .2
a＋2＋a－22a＋2
4a＋8a＋47a－4a＋72
则r－d＝9－＝，而7a－4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180<0，22
2a＋2a＋1即7a－4a＋7>0恒成立，故有r>d，即d 3．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x＋y＝5相切的直线的方程是( ) A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 解析：选A ∵所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0.∵所求直线与圆x＋y＝5相切，∴＋5＝0或2x＋y－5＝0. 4．过点(－2,3)的直线l与圆x＋y＋2x－4y＝0相交于A，B两点，则|AB|取得最小值时l的方程为( ) A．x－y＋5＝0 C．x－y－5＝0 B．x＋y－1＝0 D．2x＋y＋1＝0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 |m| ＝5，∴m＝±5.即所求的直线方程为2x＋y1＋4 解析：选A 由题意得圆的标准方程为(x＋1)＋(y－2)＝5，则圆心C(－1,2)．过圆心3－2 与点(－2,3)的直线l1的斜率为k＝ －2－－ ＝－1.当直线l与l1垂直时，|AB|取得最 小值，故直线l的斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－(－2)，即x－y＋5＝0. 122 5．若圆x＋y＋mx－＝0与直线y＝－1相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________. 4 m?22?m2＋1?2m2＋1?解析：圆的标准方程为?x＋?＋y＝??，圆心到直线y＝－1的距离2＝|0?2??2? －(－1)|，解得m＝±3，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝3. 答案：3 [练常考题点——检验高考能力] 一、选择题 1．直线y＝x＋4与圆(x－a)＋(y－3)＝8相切，则a的值为( ) A．3 C．3或－5 2 2 2 2 B．22 D．－3或5 解析：选C 因为(x－a)＋(y－3)＝8的圆心为(a,3)，半径为22，所以由直线y＝x＋4与圆(x－a)＋(y－3)＝8相切，知圆心到直线的距离等于半径，所以22，即|a＋1|＝4，解得a＝3或－5. 2．直线l与圆x＋y＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为(－2,3)，则直线l的方程为( ) A．x＋y－3＝0 C．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0 D．x－y－5＝0 2 2 2 2 |a－3＋4|1＋－ 22＝ 解析：选C 设直线的斜率为k，又弦AB的中点为(－2,3)，所以直线l的方程为kx－ 22 y＋2k＋3＝0，由x＋y＋2x－4y＋a＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)，所以圆心到直线的距离 为－1＋ 2 ＋－ 2 |－k－2＋2k＋3| ＝2，所以＝2，解得k＝1，所以直线l的 k2＋1 方程为x－y＋5＝0. 3．(2016·山东高考)已知圆M：x＋y－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)＋(y－1)＝1的位置关系是( ) A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解析：选B 由题知圆M：x＋(y－a)＝a(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝ 2 2 2 2 22 2 a，所以22 a－＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2，两圆半径之差为 2 2 a21，两圆半径之和为3，故两圆相交． 4．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x＋y＋6x－4＝0和x＋y＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( ) A．x＋y－x＋7y－32＝0 2 2 2 2 2 2 B．x＋y－x＋7y－16＝0 C．x＋y－4x＋4y＋9＝0 D．x＋y－4x＋4y－8＝0 解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x＋y＋6x－4＋λ(x＋y＋6y－28)＝0，即x＋y＋ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 33λ?66λ4＋28λ?，－x＋y－＝0，其圆心坐标为?－?，又圆心在直 1＋λ?1＋λ1＋λ1＋λ?1＋λ 33λ22 ＋－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x＋y1＋λ1＋λ 线x－y－4＝0上，所以－－x＋7y－32＝0. 5．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( ) A．2 B．42 C．6 D．210 2 2 22 解析：选C 由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x＋y－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心 C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)． ∴|AC|＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|＝40－4＝36. ∴|AB|＝6. 6．已知圆C1：x＋y＋4ax＋4a－4＝0和圆C2：x＋y－2by＋b－1＝0只有一条公切11 线，若a，b∈R且ab≠0，则2＋2的最小值为( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 abA．2 B．4 C．8 2 D．9 2 解析：选D 圆C1的标准方程为(x＋2a)＋y＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2 的标准方程为x＋(y－b)＝1，其圆心为(0，b)，半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线，所以圆C1与圆C2相内切，所以1 1 2 2 2 2 －2a－ 2 ＋－b2 ＝2－1，得4a＋b＝1，所以 22 b4a?11?22 2＋2＝?2＋2?(4a＋b)＝5＋2＋2≥5＋2ab?ab?abb24a2b24a222 2·2＝9，当且仅当2＝2，且4a＋babab111122 ＝1，即a＝，b＝时等号成立．所以2＋2的最小值为9. 63ab二、填空题 7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与 x 轴的交点，且圆C与圆(x－2)＋(y－3)＝8相外切，则圆C的方程为________． 解析：由题意知圆心C(－1,0)，其到已知圆圆心(2,3)的距离 d＝32，由两圆相外切可得R＋22＝d＝32，即圆C的半径R＝2，故圆C的标准方程为(x＋1)＋y＝2. 答案：(x＋1)＋y＝2 8．圆x＋y＋2y－3＝0被直线x＋y－k＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k＝________. 2 2 2 2 2 22 2