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2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫2(C)∫2
+∞1√?????? (B)∫2
+∞??????
??
????
+∞
???? (D) ∫2????????
1+∞??
????
????
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫2
+∞1√????=2√??|2??=
+∞
=+∞；
1
+∞2
+∞?????? ∫2??????+∞
∫2????????(??????)
=2(??????)|
2
=+∞；
∫2 ∫2
+∞
????=∫2????????
1+∞1
|+∞??(??????)=ln?(??????)2=+∞； ??????
∞
?????????=????????|+2+∫2
+∞???
+∞??
????
????=?∫2
+∞
??????
∞ =2???2??????|+=3???2， 2
因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分
(2)函数??(??)=lim(1+
??→0
??????????
)在(-∞,+∞)内
??2
??
(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点
【答案】B
【解析】这是“1∞”型极限，直接有??(??)=lim(1+
??→0
lim(1+
??2??→0??????????
?1)????????????
)
??2?? =??=e
??lim
??????????→0??=????(??≠0),
??(??)在??=0处无定义，
且lim??(??)=lim????=1,所以 ??=0是??(??)的可去间断点，选B。
??→0
??→0
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数??(??)={
??αcos
1??β
,??>0，
(α>0,??>0).若??′(??)在??=0处连续，则
0,??≤0
(A)α?β>1 (B)0<α?β≤1 (C)α?β>2 (D)0
????α?1cosβ+β??α?β?1sinβ,??>0，
???? ??′(??)={
0,??≤0
′()再有 ??+0
1
1
=lim+
x→0
??(??)???(0)
??
=lim??+
x→0
α?1
0, α>1,
cos??β={
不存在，α≤1，
1
′() ???0=0
于是，??′(0)存在?α>1，此时??′(0)=0. 当α>1时，lim??α?1cos??β=0，
x→0
1
limβ??
x→0
α?β?1
sin??β={
不存在，α?β?1≤0，
1
0, α?β?1>0,
因此，??′(??)在??=0连续?α?β>1。选A 综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限
(4)设函数??(??)在(-∞,+∞)内连续，其
二阶导函数??′′(??)的图形如右图所示， 则曲线??=??(??)的拐点个数为 (A)0 (B)1
(C)2 (D)3 【答案】C
A ??′′(??) O B ??
【解析】??(??)在(-∞,+∞)内连续，除点??=0外处处二阶可导。 ??=??(??)的可疑拐点是??′′(??)=0的点及??′′(??)不存在的点。
??′′(??)的零点有两个，如上图所示，A点两侧??′′(??)恒正，对应的点不是??=??(??)拐点，B点两侧??′′(??)异号，对应的点就是??=??(??)的拐点。
虽然f′′(0)不存在，但点x=0两侧f′′(x)异号，因而(0,f(0)) 是y=f(x)的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数??(μ,ν)满足??(??+??,??)=??2???2，则?μ|μ=1与?ν|μ=1依次是
ν=1
ν=1
1
1
??
???
???
(A)2,0 (B)0,2 (C)?,0 (D)0,? 2
2
1
1
【答案】D
【解析】先求出f(μ,ν) μ=x+y,x=,
1+ν
令{ν=y,?{μν
y=,x
1+νμ2
μ2ν2
μ2(1?ν)1+ν
μ
于是 f(μ,ν)=(1+ν)2?(1+ν)2=因此?μ|μ=1=2μ(1+ν?1)|
ν=1?f
2
=μ2(1+ν?1)
2
(1,1)
=0