内容发布更新时间 : 2024/6/29 3:54:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

04 函数与导数的综合应用

1.若关于x的不等式x-3x-9x+2≥m对任意x∈[-2,2]恒成立,则m的取值范围是( ).

3

2

A.(-∞,7] B.(-∞,-20] C.(-∞,0] D.[-12,7] 解析? 令f(x)=x-3x-9x+2, 则f'(x)=3x-6x-9,

令f'(x)=0得x=-1或x=3(舍去).

2

3

2

∵f(-1)=7,f(-2)=0,f(2)=-20, ∴f(x)的最小值为f(2)=-20,

故m≤-20. 答案? B

2.已知函数f(x)=x-3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数

3

t的最小值是( ).

A.20

B.18

C.3 D.0

解析? 对于区间[-3,2]上的任意x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,等价于在区间[-3,2]上,f(x)max-f(x)min≤t.

∵f(x)=x3-3x-1,

∴f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).

∵x∈[-3,2],∴函数f(x)在[-3,-1],[1,2]上单调递增,在[-1,1]上单调递减,

又∵f(-3)=-19,f(1)=-3,f(-1)=1,f(2)=1,

∴f(x)max=f(2)=f(-1)=1,f(x)min=f(-3)=-19, ∴f(x)max-f(x)min=20,

∴t≥20,即实数t的最小值是20.

答案? A

3.已知y=f(x)为R上的连续可导函数,且xf'(x)+f(x)>0,则函数g(x)=xf(x)+1(x>0)的零点个数为( ).

A.0 B.1

C.0或1 D.无数个

解析? 因为g'(x)=f(x)+xf'(x)>0, 所以函数g(x)在(0,+∞)上为增函数. 因为g(0)>0,所以g(x)>0,

故函数g(x)=xf(x)+1(x>0)的零点个数为0. 答案? A

4.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π dm,且用料最省,则圆柱的底面半径为 dm.

解析? 设圆柱的底面半径为R dm,母线长为l dm, 则V=πRl=27π,所以l=??2,

要使用料最省,只需使圆柱形水桶的表面积最小.

2

3

27

S表=πR2+2πRl=πR2+2π·??, 所以S'表=2πR-??2.

令S'表=0,得R=3,则当R=3时,S表最小. 答案? 3

54π

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能力1 ? 会利用导数研究函数的零点问题

【例1】 已知函数f(x)=??-2ln x(a∈R,a≠0). (1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)若函数f(x)有最小值,记为g(a),关于a的方程g(a)+a-根,求实数m的取值范围.

解析? (1)f'(x)=??-??(x>0),

当a<0时,f'(x)<0,则f(x)在(0,+∞)上单调递减;

2??2

29????2

-1=m有三个不同的实数

当a>0时,f'(x)=递增.

2(??+√??)(x-√??)

????,所以f(x)在(0,√??)上单调递减,在(√??,+∞)上单调

(2)由(1)知a>0,f(x)min=f(√??)=1-ln a,即g(a)=1-ln a, 故方程g(a)+a-9??-1=m为m=a-ln a-9??(a>0), 令F(a)=a-ln a-9??(a>0), 则F'(a)=1-+??1

22

2

=9??2

1

2(3??-1)(3??-2)

9??22

, 1

2

所以F(a)在(0,)和(,+∞)上是单调递增的,在(,)上是单调递减的, 3333所以F(a)极大值=F()=-+ln 3,F(a)极小值=F()=-ln 2+ln 3, 3333依题意得3-ln 2+ln 3

1

1

1

1

2

1

已知函数有零点求参数的常用方法和思路:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数

的不等式,再通过解不等式确定参数的取值范围.(2)分离参数法:将参数分离,转化成函数的值域问题解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一个平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后通过数形结合求解.

1.如果函数f(x)=ax+bx+cln x(a,b,c为常数,a>0)在区间(0,1)和(2,+∞)上均单调递增,在(1,2)上单调递减,则函数f(x)的零点个数为( ).

2

A.0 B.1 C.2 D.3

解析? 由题意可得f'(x)=2ax+b+,

??????'(1)=2??+??+??=0,??=-6??,则{??'(2)=4??+??+??=0,解得{

??=4??,2

所以f(x)=a(x-6x+4ln x),

则极大值f(1)=-5a<0,极小值f(2)=a(4ln 2-8)<0,

又f(10)=a(40+4ln 10)>0,结合函数图象可得该函数只有1个零点.故选B. 答案? B

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